..

（2）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式． 需注意的是， 提取完公因式后， 另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．

（3）注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底” ；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的 系数是正的．

2、公式法

运用公式法分解因式的实质是： 把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公

式：

①平方差公式： a 2－ b2 ＝ （a＋b）（ a－ b）

②完全平方公式： a ＋ 2ab＋b ＝（ a＋ b）

2－ 2ab＋b2＝（ a－ b） a

3、分组分解法 ：

2 2

2

2观察多项式： a ab ac bc 发现：多项式中既无公因式可提，也无公式

法可用，但第一，第二项有公因式： ，第三，第四项有公因式： a-b

a-b

因 式

。所以， a2 ：

ab ac

bc

a(

) c(

)

) 后，又发现有公

，

最

后

a2

a ba( c b ) c ( a

）；

(c 。这种利) 用分(组

)

来分解因式的方法叫做 分组分解法

4、十字相乘法： ）·（

5 6 x+2 x+3

1 分解成 1 和 1 两个因数的积；常数项 6 分析上式，我们发现，二次项的系数

分解成 2 和 3 两个因数的积；当我们把 1, 1 ；2, 3 竖写后再交叉相乘的和正好 等于一次项系数（如图）

1

最后横写两个一次式就是分解的结果。

x2＋ x＋ ＝（

2 3

1

2 3 5

像这种分解二次项的系数和常数项后交叉相乘的和等于一次项系数的方法， 叫 做十字相乘法 。

因式分解的十二种方法

通常

把一个多项式化成几个整式的积的形式 , 这种变形叫做把这个多项式因式分解 . 因式分解的方法多

种多样 , 现总结如下： 1、 提公因法

如果一个多项式的各项都含有公因式 两个因式乘积的形式 .

例 1、 分解因式 x -2x -x(2003 x -2x -x=x(x -2x-1) 2、 应用公式法

由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系 多项式分解因式 .

例 2、分解因式 a +4ab+4b (2003 南通市中考题 ) a +4ab+4b = （ a+2b）

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, 那么就可以把这个公因式提出来 , 从而将多项式化成

淮安市中考题 )

, 如果把乘法公式反过来 , 那么就可以用来把某些

..

3、 分组分解法

要把多项式 am+an+bm+bn分解因式 , 可以先把它前两项分成一组 项分成一组 , 并提出公因式 (a+b)(m+n)

例 3、分解因式 m +5n-mn-5m m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法

对于 mx +px+q 形式的多项式 , 如果 a×b=m,c × d=q 且 ac+bd=p, 则多项式可因式分解为 (ax+d)(bx+c) 5、配方法

对于那些不能利用公式法的多项式 方差公式 , 就能将其因式分解 例 5、分解因式 x +3x-40 解 x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法

可以把多项式拆成若干部分 , 再用进行因式分解 . 例 6、分解因式 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法

有时在分解因式时 , 可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数 最后再转换回来 .

例 7、分解因式 2x -x -6x -x+2 2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x [2(x + )-(x+ )-6 令 y=x+ ,x [2(x + )-(x+ )-6 = x [2(y -2)-y-6]

= x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5)

.

, 并提出公因式 a, 把它后两

m+n,从而得到

b, 从而得到 a(m+n)+b(m+n), 又可以提出公因式

, 有的可以利用将其配成一个完全平方式 , 然后再利用平

, 然后进行因式分解 ,

=x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、 求根法

令多项式 f(x)=0, 求出其根为 x ,x ,x , f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )

?? (x-x )

?? x , 则多项式可因式分解为

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..

例 8、分解因式 2x +7x -2x -13x+6 令 f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通过综合除法可知 ,f(x)=0 9、 图象法 令 y=f(x),

做出函数 y=f(x) 的图象 , 找到函数图象与

X 轴的交点 x ,x ,x ,

?? x , 则多项式

可因式分解为 f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x ) 例 9、因式分解 x +2x -5x-6 令 y= x +2x -5x-6

作出其图象 , 见右图 , 与 x 轴交点为 -3,-1,2 则 x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法

先选定一个字母为主元 , 然后把各项按这个字母次数从高到低排列, 再进行因式分解 . 例 10、分解因式 a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析：此题可选定

a 为主元 , 将其按次数从高到低排列

a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法

将 2 或 10 代入 x, 求出数 P, 将数 P 分解质因数 , 将质因数适当的组合 , 并将组合后的每一个因数写成 2 或 10 的和与差的形式 , 将 2 或 10 还原成 x, 即得因式分解式 . 例 11、分解因式 x +9x +23x+15

令 x=2, 则 x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将 105 分解成 3 个质因数的积 , 即 105=3× 5× 7 注意到多项式中最高项的系数为 12、待定系数法

首先判断出分解因式的形式 , 然后设出相应整式的字母系数 , 求出字母系数 , 从而把多项式因式分解 .

例 12、分解因式 x -x -5x -6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式

设 x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd

?? (x-x )

根为 ,-3,-2,1

则 2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)

1, 而 3、5、 7 分别为 x+1,x+3,x+5, 在 x=2 时的值

则 x +9x +23x+15= （ x+1）（ x+3）（ x+5）

, 因而只能分解为两个二次因式 .

所以 解得

则 x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)

zhangying002F1 2014-10-17

第十章 二元一次方程

二元一次方程组

1. 二元一次方程 ：含有两个未知数的方程并且所含未知项的最高次数是 1，这样的整式方程叫做二元一次方程。

2．方程组：有几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未

知数，且含未知数的项的次数都是一次， 那么这样的方程组叫做 二元一次方程组 。

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..

二元一次方程的解： 一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程的解。

二元一次方程组的解： 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。

8.2 消元——解二元一次方程组

二元一次方程组有两种解法：一种是 代入消元法 , 一种是加减消元法 .

1．代入消元法： 用代入法 解二元一次方程组的一般步骤：观察方程组中，是否有用含一个未知数的式子表示另一个未知数 ，如果有，则将它直接代入另一个方程中；如果没有，则将其中一个方程变形， 用含一个未知数的式子表示另一个未知数；再将表示出的未知数代入另一个方程中， 从而消去一个未知数， 求出另一个未知数的值， 将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程， 求出另外一个未知数的值。

2．加减消元法： 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。方程组的两个方程中， 如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数， 就用适当的数去乘方程的两边，使同一个未知数的系数 相等或互为相反数；（2）把两个方程的两边分别相加或相减， 消去一个未知数 ；（ 3）解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；（4）将求出的未知数的值代入 原方程组 中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值，从而得到原方程组的解。

3、三元一次方程组的解法

三元一次方程组 ：方程组含有三个未知数， 每个方程中含有未知数的项的次数都是 1，并且一共有三个方程组，像这样的方程组叫做三元一次方程组。

解三元一次方程组的一般步骤： ①观察方程组中未知数的系数特点，确定先消去哪个未知数； ②利用代入法或加减法， 把方程组中的一个方程， 与另外两个方程分别组成两组， 消去同一个未知数， 得到一个关于另外两个未知数的二元一次方程组； ③解这个二元一次方程组， 求得两个未知数的值； ④将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程中， 求出第三个未知数的值， 从而得到原三元一次方程组的解。

8.3 实际问题与二元一次方程组

实际应用：审题→设未知数→列方程组→解方程组→检验→作答。 关键：找等量关系

常见的类型有：分配问题、追及问题、顺流逆流、药物配制、行程问题 顺流逆流公式：

v顺 v静 v水

v逆 v静

v水

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