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第七章 图形的认识（二）

一、直线被第三条直线所截形成

8个角。(3 线8角)

1．同位角：（在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧）在两条直线的上方，又在直线 EF 的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。如：∠ 1 和∠ 5。2．内错角：（在两条直线内部，位于第三条直线两侧）在两条直线之间，又在直

线 EF 的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。

如：∠ 3 和∠ 5。

3．同旁内角：（在两条直线内部，位于第三条直线同侧）在两条直线之间，又 在直线 EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。如：∠ 二、 平行线及其判定 ( 一) 平行线

1. 平行：两条直线不相交。互相平行的两条直线，互为平行线。 a∥ b（在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 ）

2．平行公理： 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

3. 平行公理推论： 平行于同一直线的两条直线互相平行。如果 b//a,c//a, 那么 b//c

( 二) 平行线的判定：

1. 两条平行线被第三条直线所截， 如果同位角相等， 那么这两条直线平行。（同位角相等，两直线平行）

2. 两条平行线被第三条直线所截， 如果内错角相等， 那么这两条直线平行。（内错角相等，两直线平行）

3. 两条平行线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。（同旁内角互补，两直线平行）

4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。如果 c

。

那么这两条直线平行。

3 和∠ 6。

a∥b，a∥c ，则 b ∥

推论：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线， 三、 平行线的性质 ( 一) 平行线的性质

1. 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 （两直线平行，同位角相等） 2. 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 （两直线平行，内错角相等）

3. 两条平行线被第三条直线所截， 同旁内角互补。（两直线平行， 同旁内角相等）

( 二) 命题、定理、证明

1．命题的概念 ：判断一件事情的语句，叫做命题。 2. 命题的组成：每个命题都是题设、结论两部分组成。

题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项。命题常写成“如果

,, ，那么,

, ”的形式。具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”

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开始的部分是结论。

3．真命题：正确的命题，题设成立，结论一定成立。

4．假命题：错误的命题，题设成立，不能保证结论一定成立。

5. 定理：经过推理证实得到的真命题。 ( 定理可以做为继续推理的依据 ) 6．证明：推理的过程叫做证明。 四、平移

1．平移 : 平移是指在平面内， 将一个图形沿着某个方向移动一定的距离， 这样的图形运动叫做平移变换 ( 简称平移 ) ，平移不改变物体的形状和大小。 2. 平移的性质

①把一个图形整体沿某一直线方向移动， 会得到一个新的图形， 新图形与原图形 的形状和大小完全相同。

②新图形中的每一点， 都是由原图形中的某一点移动后得到的， 这两个点是对应 点。连接各组对应点的线段平行且相等。 ①对应点的连线平行且相等； ②对应线 段相等；③对应角相等。

第八章 幂的运算

一、幂的运算：

乘方的概念 : 求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

在 n a 中， a 叫做底数， n 叫做指数。

乘方的性质 :

（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。

（2）正数的任何次幂都是正数， 0 的任何正整数次幂都是 0 1、同底数幂的乘法法则： am an

a m n （ m, n 都是正整数）

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。

如： (a b)2 (a b)3 ( a

b) 5

2、幂的乘方法则： (a m ) n a mn （ m, n 都是正整数）

幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：

( 35) 2

310

幂的乘方法则可以逆用：即

a mn ( a m ) n (a n )m (ab) n

如： 46 (42 ) 3 (43 )2

3、积的乘方法则：

a nb n （ n 是正整数）。积的乘方，等于各因数乘方的

积。

如：（ 2x3 y 2 z)5 =( 2)5 (x3 )5 ( y 2 ) 5 z5

32x15 y10z5

4、同底数幂的除法法则： am a n am n （ a 0, m, n 都是正整数，且 m n)

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同底数幂相除，底数不变，指数相减。如： 5、零指数；

(ab) 4 ( ab) ( ab)3

1。

a 3 b3

a0 1，即任何不等于零的数的零次方等于

6．负指数幂的概念：

1

－ p

p

a ＝ a

（ a≠ 0，p 是正整数）

任何一个不等于零的数的－ p（ p 是正整数）指数幂，等于这个数的

幂的倒数．

p

p 指数

p

n m

（m≠0，n≠0，p 为正整数） 也可表示为： m

7、科学记数法 : 把一个绝对值大于 10( 或者小于 1) 的整数记为 a310n 的形式

n

( 其中 1≤ |a| ＜10), 这种记数法叫做科学记数法 .

第九章 整式的乘法与因式分解

1、单项式与单项式相乘 ，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

注意：

①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。

8、单项式乘以多项式 ，就是用单项式去乘多项式的每一项， 再把所得的积相加，

即 m(a b c)

ma mb mc ( m, a,b, c都是单项式 ) 。

注意：

①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。

②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。 ③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。

]

9、多项式与多项式相乘 ，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。

10、乘法公式：平方差公式 ： (a b)( a b)

a 2 b2 注意平方差公式展开只有两

项

公式特征：左边是两个二项式相乘， 并且这两个二项式中有一项完全相同，

z)( x y

z)

另一

项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。 如：(x y

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=

11、完全平方公式 ： (a b) 2 a 2 2ab b2

完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，首尾 公式的变形使用：（1） a2 b 2

( a b) 2 2 ab

2 倍中间放，符号和前一个样。

(a

b) 2 2ab ；

(a

b) 2 (a b) 2 4ab

[ ( a b )] 2

( a b) 2 (a b) 2 ；

( a b) 2 [ ( a b)] 2

(a

b) 2

（ 2）三项式的完全平方公式： (a b c)2 a 2 b 2 c 2 2ab 2ac 2bc

12、单项式的除法法则 ：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

注意：首先确定结果的系数（即系数相除） ，然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

13、多项式除以单项式的法则 ：多项式除以单项式， 先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。即：

(am bm cm) m am m bm m cm m a b c

三、因式分解

1、因式分解 的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形

叫做把这个多项式因式分解．

掌握其定义应注意以下几点：

（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整

式，这三个要素缺一不可；

（2）因式分解必须是恒等变形；

（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．

弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．

因式分解与整式乘法是互逆变形， 因式分解是把和差化为积的形式， 而整式乘法

是把积化为和差的形式．

因式分解的常用方法： 1、提公因式法

（1）会找多项式中的公因式；公因式的构成一般情况下有三部分：①系数 一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字 母的最低次数；

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