6）定积分比较定理

如果在区间[a,b]上恒有f(x)?0，则有?f(x)dx?0

ab推论：ⅰ如果在区间[a,b]上恒有f(x)?g(x)，则有?f(x)dx??g(x)dx；

aabbⅱ设M和m是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值，则有：

m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)

ab【点评】：定积分比较定理在解题时应用比较广，定积分中值定理也是它的推论。掌握其证明过程，对理解及应用该定理很有帮助。具体的证明过程教材上有。 7）定积分中值定理

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一点?使得下式成立：

?baf(x)dx?f(?)(b?a)

【点评】：微积分的两大中值定理之一，定积分比较定理和闭区间上连续函数的推论，在证明题中有重要的作用。考研真题中更是有直接用到该定理证明方法的题目，重要性不严而喻。具体证明过程见教材。

8）变上限积分求导定理

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限的函数?(x)??f(x)dx在[a,b]上

ax可导，并且它的导数是

dx?'(x)?f(x)dx?f(x),a?x?b

dx?a设函数F(x)??u(x)v(x)f(t)dt，则有F'(x)?f(u(x))u'(x)?f(v(x))v'(x)。

【点评】：不说了，考试直接就考过该定理的证明。具体证明过程见教材。 9）牛顿-莱布尼兹公式

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则有?f(x)dx?F(b)?F(a)，其中F(x)是

abf(x)的原函数。

【点评】：微积分中最核心的定理，计算定积分的基础，变上限积分求导定理的推论。具体证明过程见教材。

10）费马引理：

设函数f(x)在点x0的某领域U(x0)内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的

x?U(x0)，有f(x0)?f(x)或f(x0)?f(x)，那么f'(x0)?0

【点评】：费马引理是罗尔定理的基础，其证明过程中用到了极限的保号性，是很重要的思想方法。具体证明过程见教材。 11）罗尔定理： 如果函数f(x)满足

（1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间(a,b)上可导

（3）在区间端点处的函数值相等，即f(a)?f(b)

那么在(a,b)内至少存在一点?(a???b)，使得f'(?)?0。

【点评】：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理是一脉相承的三大定理；它们从形式上看是由特殊到一般，后面的定理包含前面的定理，但实际上却是相互蕴含，可以相互推导的。这几个定理的证明方法也就是与中值有关的证明题主要的证明方法。中值定理的证明是高数中的难点，一定要多加注意。具体证明过程见教材。

12）拉格朗日中值定理： 如果函数f(x)满足

（1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间(a,b)上可导

那么在(a,b)内至少存在一点?(a???b)，使得f'(?)?【点评】：同上。 13）柯西中值定理： 如果函数f(x)和g(x)满足 （1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间(a,b)上可导

f(b)?f(a)。

b?af'(?)f(b)?f(a)那么在(a,b)内至少存在一点?(a???b)，使得'。 ?g(?)g(b)?g(a)【点评】：同上。

14）单调性定理：

设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导。

如果在(a,b)上有f'(x)?0，那么函数f(x)在[a,b]上单调递增。 如果在(a,b)上有f'(x)?0，那么函数f(x)在[a,b]上单调递减。

【点评】：这个定理利用导数与切线斜率的关系很容易理解，但实际证明中却不能用图形来解释，需要更严密的证明过程。 证明：

仅证明f'(x)?0的情形，f'(x)?0的情形类似。

?x1,x2?(a,b)，假定x1?x2

则利用拉个朗日中值定理可得，????x2,x2?使得f(x1)?f(x2)?f'???(x1?x2)。 由于f'????0，因此f(x1)?f(x2)?0。

由x1,x2的任意性，可知函数f(x)在[a,b]上单调递增。

14）(极值第一充分条件)

设函数f(x)在x0处连续，并在x0的某去心邻域U(x0,?)内可导。

ⅰ）若x?(x0??,x0)时，f'(x)?0,而x?(x0,x0??)时，f'(x)?0,则f(x)在x0处取得极大值

ⅱ）若x?(x0??,x0)时，f'(x)?0,而x?(x0,x0??)时，f'(x)?0,则f(x)在x0处取得极小值；

ⅲ）若x?U(x0,?)时，f'(x)符号保持不变，则f(x)在x0处没有极值； 【点评】：单调性定理的推论，具体证明过程见教材。

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