选修4－4 坐标系与参数方程

第一节 坐标系

一、基础知识

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

?x?λ＞0?，?x′＝λ·?设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应?y′＝μ·y?μ＞0??

到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．

2．极坐标系的概念 (1)极坐标系

如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

(2)极坐标

①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ. ②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ. ③极坐标：有序数对?ρ，θ?叫做点M的极坐标，记为M?ρ，θ?.一般不作特殊说明时，我们认为ρ ≥0，θ可取任意实数.3．极坐标与直角坐标的互化

设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)， 极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：

??x＝ρcos θ，

?

?y＝ρsin θ；?

ρ2＝x2＋y2，??

? ytan θ＝?x≠0?.?x?

4．简单曲线的极坐标方程

曲线 圆心为极点，半径为r的圆 圆心为(r,0)，半径为r的圆 πr，?，半径为r的圆 圆心为??2?过极点，倾斜角为α的直线 极坐标方程 ρ＝r(0≤θ<2π) ππ－≤θ≤? ρ＝2rcos θ?2??2ρ＝2rsin θ(0≤θ<π) θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)

过点(a,0)，与极轴垂直的直线 πa，?，与极轴平行的直线 过点??2?

考点一 平面直角坐标系下图形的伸缩变换

[典例] 求双曲线

C：x2－

ππ－<θ

＝1经过φ：?变换后所得曲线C′的焦点坐标． 64?2y′＝y?

[解] 设曲线C′上任意一点P(x′，y′)， 1??x＝3x′，y2

2由上述可知，将?代入x－＝1， 64

??y＝2y′

x′24y′2x′2y′2x2y2

得－＝1，化简得－＝1，即－＝1为曲线C′的方程，

964916916可见仍是双曲线，则焦点(－5,0)，(5,0)为所求．

[解题技法] 伸缩变换后方程的求法

??x′＝λx?λ>0?，平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：?的作用下的变换方程的求法是将

?y′＝μy?μ>0??

，?x＝x′λ

?y′?y＝μ

y′x′

代入y＝f(x)，得＝f??，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程．

μ?λ?

[提醒] 应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x，y)与变换后的坐标(x′，y′)．

[题组训练]

??x′＝2x，π

x′＋?，求1．若函数y＝f(x)的图象在伸缩变换φ：?的作用下得到曲线的方程为y′＝3sin?6????y′＝3y

函数y＝f(x)的最小正周期．

π

x′＋?得 解：由题意，把变换公式代入曲线y′＝3sin?6??ππ

2x＋?，整理得y＝sin?2x＋?， 3y＝3sin?6?6???π2x＋?. 故f(x)＝sin?6??

所以函数f(x)的最小正周期为π.

2．将圆x2＋y2＝1

??x′＝λx，x2y2

变换为椭圆＋＝1的一个伸缩变换公式φ：?(λ，μ>0)，求λ，μ的值．

2516?y′＝μy?

x′2y′2x2y2

解：将变换后的椭圆＋＝1改写为＋＝1，

25162516

??x′＝λx，

把伸缩变换公式φ：?(λ，μ>0)代入上式得：

?y′＝μy?

λ?22?μ?22λ2x2μ2y2

22＋＝1即??5?x＋?4?y＝1，与x＋y＝1， 2516

比较系数得

?λ?2＝1，

??5?

2

??μ?

??4?＝1，

??λ＝5，所以?

?μ＝4.?

考点二 极坐标与直角坐标的互化

π?

[典例] (2018·江苏高考)在极坐标系中，直线l的方程为ρsin??6－θ?＝2，曲线C的方程为ρ＝4cos θ，求直线l被曲线C截得的弦长．

[解] 因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，化成直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4， 所以曲线C是圆心为(2,0)，直径为4的圆． π?因为直线l的极坐标方程为ρsin??6－ θ?＝2， 化成直角坐标方程为y＝

3

(x－4)， 3

π

则直线l过A(4,0)，倾斜角为，

6所以A为直线l与圆C的一个交点． π

设另一个交点为B，则∠OAB＝.

6如图，连接OB.

π

因为OA为直径，从而∠OBA＝，

2π

所以AB＝4cos＝23.

6

所以直线l被曲线C截得的弦长为23.

[解题技法]

1．极坐标方程与直角坐标方程的互化方法

(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可． (2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．

2．极角的确定

由tan θ确定角θ时，应根据点P所在象限取最小正角． y

(1)当x≠0时，θ角才能由tan θ＝按上述方法确定．

x(2)当x＝0时，tan θ没有意义，这时可分三种情况处理：

π3π

当x＝0，y＝0时，θ可取任何值；当x＝0，y>0时，可取θ＝；当x＝0，y<0时，可取θ＝. 22 [题组训练]

π2

θ－?＝(ρ≥0,0≤θ＜2π)．1．(2019·郑州质检)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin? ?4?2(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；

(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标． 解：(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 故圆O的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0， π2

θ－?＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 直线l：ρsin??4?2则直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.

22???x＋y－x－y＝0，?x＝0，

?(2)将两直角坐标方程联立得解得? ?x－y＋1＝0，???y＝1，

即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1)， π

1，?即为所求． 将(0,1)转化为极坐标为??2?

π

θ－?＝2. 2．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρ·cos??4?(1)求圆O1和圆O2的直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，

所以圆O1的直角坐标方程为x2＋y2＝4. π

θ－?＝2， 因为ρ2－22ρcos??4?ππ

cos θcos＋sin θsin?＝2， 所以ρ2－22ρ?44??所以圆O2的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减， 得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， π2

θ＋?＝. 即ρsin??4?2