一、概述
两个物体相互压紧时，在接触区附近产生的应力和变形，称为接触应力和接触变形。接触应力和接触变形具有明显的局部性，随着离开接触处的距离增加而迅速减小。材料在接触处的变形受到各方向的限制，接触区附近处在三向应力状态。在齿轮、滚动轴承、凸轮和机车车轮等机械零件的强度计算中，接触应力具有重要意义。
接触问题最先是由赫兹（H、Hertz）解决的，他得出了两个接触体之间由于法向力引起接触表面的应力和变形，其他研究者先后研究了接触面下的应力和切向力引起的接触问题等。 通常的接触问题计算，是建立在以下假设基础上的，即
1. 接触区处于弹性应力状态。
2. 接触面尺寸比物体接触点处的曲率半径小得多。
计算结果表明，接触面上的主应力大于接触面下的主应力，但最大切应力通常发生在接触面下某处 由于接触应力具有高度局部性和三轴性，在固定接触状态下，实际应力强度可能很高而没有引起明显的损伤。但接触应力往往具有周期性，可能引疲劳破坏、点蚀或表面剥落，因此，在确定接触许用应力时要考虑接触和线接触。当用接触面上最大应力建立强度条件时，许用应力与接触类型有关，点接触的许用应力是线接触的许用应力的1.3～1.4倍。
二、弹性接触应力与变形
1.符号说明
E1，E2——两接触体的弹性模量
v1,，v2——两接触体的泊松比
a——接触椭圆的长半轴
b——接触椭圆的短半轴 k=b/a=cosθ
’
R1，R1——物体1表面在接触点处的主曲率半径。R1和R1所在的平面相互垂直。若曲率中心位于物体内，则半径为正，若曲率中心位于物体外，则半径为负。 R2， R2
’——
同上，但属物体2的
ψ——两接触体相应主曲率平面间的夹角
k(z/b)=cotυ——接触表面下到Z轴上要计算应力的一点相对深度 Z1——任一物体中从表面到Z轴产生最大切应力点的深度
1
A、B——任意两表面上接触点附近相应点之间距离的椭圆方程系数
２.接触表面上的应力与位移
两个任意形状的物体接触于一点，如图2-5-1所示，在法向力P作用下两物体压紧后形成的接触表面为椭圆形，其长、短半轴分别为
在接触面上的压应力大小按半椭形分布，最大压应力发生在接触面中心处，其值为
两物体接触后相对位移
以上式中系数α、β和λ见表2-5-1 α、β和λ系数。
图2-5-1 两个任意形状物体接触
利用上述结果，R1 、R1 和R2 R2的不同取值，可以求得球与球、球与平面、球与球面、球与圆柱、正交圆柱、球与圆柱形凹面，以及滚动轴承等点接触问题的变形、接触应力和相对位移，结果见表2-5-3 弹性体接触参数的计算公式。表中还列出了圆柱与平面、圆柱与圆柱、圆柱与圆柱面等线接触的结果。(表中与A、B有关的系数n1 n2 n3 和n4，见表2-5-2 系数n1、n2、n3 和n4的数值。)
2
3.接触表面下的应力
a主应力 在Z轴上某点的主应力为
式中,
3
例如，选择比值B/A＝1.24，由式（4.13-8）可知k＝0.866和k’=0.5，从面确定接触面积下深度Z处的应力，如图2-5-2所示。当Z＝0时σσ
max
x、
σ
y、
σz达到最大，它们均随深度的增加面减小。最大主应力为σz，
=0.67b/Δ。
图2-5-2 接触面下应力随距离变化曲线,v=0.25
B最大切应力τ1/2(σ
max
1
在强度计算中，接触表面下的最大切应力将起重要作用。任意点的最大切应力为
-σ
min
)，图4.13-2中的曲表明，在稍低于接触表面之处，σx 和σy比σz减小得快，因此，稍低于接=0.22b/Δ，而深度kz1/b=0.44，即z1=0.44b/0.866=0.51b，与接触表面夹角45度。最大切应
4
触点处的最大切应力增大，而在Z1处达到最大值1/2（σz-σy），如图4.13-2中标有τ1的曲线所示。在B/A＝1.24时，τ
1max
力主要决定接触区域是否发生塑性变形。最大切应力的数值和位置随b/a变化情况如图2-5-3所示。
图2-5-3 最大切应力数值和位置
C平行于接触表面的最大切应力τo 当接触体沿接触面滚动时，在接触表面下深度Zo处平行于接触表面的最大切应力，从+τo至-τo间变化，其范围为2τo，平行于接触表面的最大切应力范围的数值和深度，随b/a的变化情况如图4.13-4所示。 比较图2-5-3和图2-5-4可以看出，2τo大于τ1，因此，切应力范围2τo是决定滚动接触疲劳破损的重要因素。
图2-5-4 平行于接触表面的最大切应力数值和位置
4.切向力作用下的接触应力
5
接触面上的法向力往往伴在切向（磨擦）力，例如当齿轮滑动接触或轴在轴承中旋转时，就会出现这种情况。磨擦力的存在，导致两弹性体中的接触应力显著地大于法向力单独作用时所产生的应力。此外，磨擦力与法向力的同时存在 ，导致应力的性质发生某些变化。例如，当法向力单独作用时，物体中接触附近各点的三个主应力均匀压应力，而当磨擦力介入时，在紧接磨擦力后的区域内，三个主应力中的两个变拉应力，这些拉应力有助于说明为什么裂纹会在接触表面形成，并逐渐扩展的原因。接触表面上的法向力加上磨擦力后，也会导致接触表面区域内的切应力发生变化。最大切应力所在点的位置，从接触表面下移向接触区，当磨擦系数为1/10或较大时，此点位于接触表面上。
1. 主应力 当弹性圆柱滚子压向弹性平面时，考虑磨擦力的影响，接触表面上各点和表面下距离Z＝b/4
处的主应力σ1、σ2 和σ3已根据磨擦系数1/3 算出， 如图2-5-5所示。各个离应力的最大值，均在物体表面上沿着磨擦力的方向离开接触面积中心约为0.3b处。这些最大值，出现在同一点，其大小为σ1=-1.4b/Δ，σ2=--0.72b/Δ和σ3=--.053b/Δ。对应于磨擦系数1/3的磨擦力，使最大主应力增大40%。此外，图中曲线表明，主应力σ2和σ3在与磨擦力方向相反的接触面积边缘附近成为拉应力。
2. 最大切应力根据接触表面上一点的最大和最小主应力值，可求得表面上该点的最大切应力为
表面上各点和表面下距离Z＝b/4处的切应力已利用图2-5-5中的主应力算出， 如图2-5-6所示。R1=0.43 b/Δ值为最大切应力，它出现在接触面积中离中心约为0.3b处。
3.磨擦系数的影响 磨擦系数的大小决定了最大主应力、最大切应力之值。最大接触应力随磨擦系数的变化，见表2-5-4 两个相对滑动而作线接触的长圆体之间的接触应力值（法向力和摩擦力）。
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图2-5-5 切向力对接触主应力的影响
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图2-5-6 切向力对接触切应力的影响
5.刚性压头与均布载荷的接触问题
在刚性刀口、刚性压头以及均布载荷作用下，半无限板（体）的接触应力和变形计算公式，见表2-5-5 弹性压头和均布载荷的接触问题计算公式 三、接触问题的强度计算
接触强度条件 || 应用举例 || 弹性接触参数的计算公式 接触强度条件
由于接触面附近材料处于三向应力状态，而且三个主应力都是压应力，在接触面中心三个主应力大小是相等的，所以，该处的材料能够承受很大的压力而不发生屈服，因此，接触面上的许用压应力很高。接触问题的强度条件，通常写成
式是，σmax为接触面上最大压应力，[σH]为接触许用应力。
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接触问题的许用应力，与接触体形状、材质、受载状态以及判断准则等因素有关。 对于滚柱轴承或滚珠轴承 [σH]=3500～5000MPa 对于铁轨钢
[σH]=800～1000MPa
一些常用材料及零部件的许用接触应力，见下述五表：
? ? ? ? ?
常用钢及铸钢的许用接触应力 重型机械用钢的许用接触应力
润滑良好的接触零件的许用接触应力（如凸轮） 润滑一般的接触零件的许用接触应力（如走轮） 许用接触应力实力
应用举例
如图2-5-7所示的单列向心推力球轴承4620B，其球中心圈直径Dm=60mm,球径 d=12.7mm,内圈沟槽直径Di=48.6mm，沟槽曲率半径ri=6.54mm，接触角α=26°，球与 内圈接触载荷P＝1765N，求最大接触应力和接触面尺寸。
图2-5-7 单项向心推力球轴承
本问题可按表2-5-2 系数n1、n2、n3 和n4的数值中序9球与圆柱形蒌凹面接触公式计算，此时式中
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根据表2-5-3 弹性体接触参数的计算公式，经过插值计算求得系数
接触面积为长、短半轴为a和b的椭圆 根据接触应力公式
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本题也可按两个任意形状物体接触公式（2-5-1）、（2-5-2）和式（2-5-3）计算。 此时式中
计算结果相同
(2)两个相互滚动的相同钢质圆柱，E＝200GPa,v=0.29,二者的曲率半径为32mm，宽度l＝15mm，作无磨擦的滚动时，载荷P＝14.4kN,年产生的应力为：σmax=1445MPa ,
τmax=433MPa，使圆柱承受载荷P＝14.4kN，而以稍微不同的转速旋转，因而滚子表面相互滑动，若滑动磨擦系数为1/9，试求σmax（拉）、σmax（压）、τmax。从
表2-5-4 两个相对滑动而作线接触的长圆体之间的接触应力值（法向力和摩擦力）可查得应力值为
Δ的大小可按式（2-5-5）求得
b可按式（2-5-9）或表2-5-2 系数n1、n2、n3 和n4的数值中序5的公式求得，在k＝0的极垠情况下，式（2-5-9）中的b值为
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所以结果为
磨擦力（滑动滑动磨擦系数1/9）使最大压应力增大12.9%，使最大切应力增大3.5%
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