2009年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试题

二．解答题（共86分）

9.（21分）已知平行四边形ABCD满足?BAD>90,向四边形外部做?DCE和?BCF使得?EDC=?CBF, ?DCE=?BFC,连接EF,向?CEF外部作?EFG使得

?AEF??GEF ?EFG=?CFB, ?FEG=?CED.证明：

?

5

10.（21分）设正项数列?an?满足a1=1，a2?2，an?公式

an?2,n?3。求数列{an}的通项an?111，（22分）求方程?????????x的所有解，其中?a?表示不超过a的最大整数

237

12．（22分）假设平面点集S具有性质：（1）任意三点不公线；（2）任意两点距离各不相等。对于S中两点A,B，若存在C?S使得，AC?AB?BC,则称AB是AB的一条中边。对于S中三点A,B,C,若AB,AC,BC都是S的中边，则称三角形ABC是S的中边三角形。求最小的n使得任意具有性质（1）（2）的n元平面点集S中一定存在中边三角形。

6

?x??x??x???????

2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷

一、填空题（每小题8分，共64分）

1.函数f(x)?2x?4x?x2的值域是 . 2.函数y? 的图象与y?ex的图象关于直线x?y?1对称. 3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于 .

x2y2??1与双曲线xy?1相切，则t? . 4.设椭圆

t?1t?15.设z是复数，则|z?1|?|z?i|?|z?1|的最小值等于 . 6.设a，b，c是实数，若方程x?ax?bx?c?0的三个根构成公差为1的等差数列，则a，b，c应满足的充分必要条件是 . 7.设O是?ABC的内心，AB?5，AC?6，BC?7，OP?xOA?yOB?zOC，

32????????????????0?x,y,z?1，动点P的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于 .

8.从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是 .

二、解答题（共86分）

9.（20分）设数列?an?满足a1?0，an?

10.（22分）求最小正整数n使得n?n?24可被2010整除.

7

22，n?2.求an的通项公式.

1?an?1

11.（22分）已知?ABC的三边长度各不相等，D，E，F分别是?A，?B，?C的平分线与边BC，CA，AB的垂直平分线的交点.求证：?ABC的面积小于?DEF的面积. 12.（22分）桌上放有n根火柴，甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取，第一次可取走至多n?1根火柴，此后每人每次至少取走1根火柴.但是不超过对方刚才取走火柴数目的2倍.取得最后一根火柴者获胜.问：当n?100时，甲是否有获胜策略？请详细说明理由.

8