2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题

一.选择题

1.如果集合A.B同时满足A?B??1.2.3.4?A?B??1?,A??1?,B??1?就称有序集对。这里的有序集对?A,B?意指当A?B，?A,B?和?B,A?是不同的集?A,B?为“好集对”

对，那么“好集对”一共有（ ）个。

A64B8C?x6D2

２.设函数f?x??lg10??1?,方程f??2x??f?1?2x?的解为( )

A.log2?lg2??1B.lg?log210??1C.lg?lg2??1D.log2?log210??13.设A?100101102?499500是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺序排列而成那么A除以126的余数是( )

A78B36C6D0 4.在直角?ABC中,

?C?90?,CD为斜边上的高,D

.

k为垂足. 项

为

AD?a,BD?b,CD?a?b?1设数列

?uk?的通

uk?ak?ak?1b?ak?2b2?????1?bk,k?1,2,3,?,则( )

A. u2008?u2007?u2006 B. u2008?u2007?u2006 C. 2007u2008?2008u2007顺序排成一个新的数列

D. 2008u2008?2007u2007

5.在正整数构成的数列1.3.5.7……删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的

?an?,易见a1?1,a2?3,a3?7a,4?么9a5,??那13595a2007?____________A. 9597 B. 16.设

C 2831 .D27 5. 则A:B??A?1?cos30 +1+cos70+1+cos110 +?1+cos870 B?1?cos30 +1-cos70+1-cos110 +?1-cos870?

A. 2-22 B. 2+22 C. 2-1 D. 2+1

7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有______________种. 8.设n?2007,且n为使得an=?2-2?i2+2取实数值的最小正整数,则对应此n的

?nan为

1

9.若正整数n恰好有4个正约数,则称n为奇异数,例如6,8,10都是奇异数.那么在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个数中奇异数有_____________________个. 10.平行六面体

ABCD?A1B1C1D1中,顶点A出发的三条棱AA1,AB,AD的长度分别为

?2,3,4,且两两夹角都为60那么这个平行六面体的四条对角线AC1,BD1,DB1,CA1的长度(按顺序)分别为___________________

1211.函数f?x?,g?x?的迭代的函数定义为f???x??f?x?,f???x??f?f?x??,?

f?n??x??ff??n?1??x??,g?1??x??g?x?,g?2??x??g?g?x??,?g?n??x??g?g?n?1??x??其中n=2,3,4…

?f?9??x??g?6??y????9??6?设f?x??2x?3,g?x??3x?2,则方程组?f?y??g?z?的解为_________________

??9??6?fz?g???x???12.设平行四边形ABCD中，AB?4,AD?2,BD?23,则平行四边形ABCD绕直线

AC旋转所得的旋转体的体积为_______________

三．解答题

13.已知椭圆?:3x2?4y2?12和点Q?q,0?,直线l过Q且与?交于A,B两点(可以重合). 1)若?AOB为钝角或平角(O为原点),

q?4,试确定l的斜率的取值范围.

2)设A关于长轴的对称点为A1,F为椭圆的右焦点,q?4,试判断A1和F,B三点是否共线,并说明理由.

3)问题2)中,若q?4,那么A1,F,B三点能否共线?请说明理由. 14.

数列

?xn?由下式确定:

xn?1?xn,n?1,2,3,?,x1?1,试求22xn?1lxg20整数部分k??07

a的最大整数,即a的整数部分.) lxg?(注2?a0?.表示不大于0715. 设给定的锐角?ABC的三边长a,b,c,正实数x,y,z满足

22ayzbzxcxy???p,其中pxyz2为给定的正实数,试求s??b?c?a?x??c?a?b?y??a?b?c?z的最大值,并求出当

s取此最大值时, x,y,z的取值.

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2008年安徽高中数学竞赛初赛试题

一、选择题

1.若函数y?f?x?的图象绕原点顺时针旋转（A）g?x??f?1??x? （C）g?x???f?1??x?

?后，与函数y?g?x?的图象重合，则（ ） 2（B）g?x??f?1?x? （D）g?x???f?1?x?

2.平面中，到两条相交直线的距离之和为1的点的轨迹为（ ） （A）椭圆 （B）双曲线的一部分 （C）抛物线的一部分 3.下列4个数中与cos1??cos2????cos2008?最接近的是（ ） （A）-2008 （B）-1 （C）1 （D）2008 4.四面体的6个二面角中至多可能有（ ）个钝角。 （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 5.

（D）矩形

11写成十进制循环小数的形式其循环节的长度为( ) ?0.000498?625498?625?，20082008(A)30 (B)40 6.设多项式?1?x?（A）127

(C)50

2008（D）60

?a0?a1x???a2008x2008，则a0,a1,?,a2008中共有（ ）个是偶数。

（B）1003 （C）1005 （D）1881

二、填空题

7.化简多项式

k?m?CnkCkmxk?m?1?x?nn?k? 8.函数f?x??3?5sinx的值域为

5?4cosx?3sinx9.若数列?an?满足a1?0,an?a1?an?1,?n?2?，且具有最小正周期2008，则a1?

1?a1an?110.设非负数a1,a2,?,a2008的和等于1，则a1a2?a2a3???a2007a2008?a2008a1的最大值 为

?ABC11.设点A?1,1?，B、C在椭圆x?3y?4上，当直线BC的方程为 时，22的面积最大。 12.平面点集G???i,j?|i?1,2,?,n;j?1,2,?,n?，易知G可被1 个三角形覆盖（即各

2点在某个三角形的边上），G3可被2个三角形覆盖，则覆盖G2008需要 个三角形。

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三、解答题

13.将6个形状大小相同的小球（其中红色、黄色、蓝色各2个）随机放入3个盒子中，每个盒子中恰好放2个小球，记?为盒中小于颜色相同的盒子的个数，求?的分布。

14.设a1?1,an??nan?1?,?n?2?，其中?x?表示不超过x的最大整数。证明：无论a1取

??何正整数时，不在数列?an?的素数只有有限多个。

15.设圆O1与圆O2相交于A，B两点，圆O3分别与圆O1，圆O2外切于C，D，直线EF分别与圆O1，圆O2相切于E，F，直线CE与直线DF相交于G，证明：A，B，G三点共线。

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