第十二讲 直线形面积计算综合提高

我们已经学过了基本直线形面积计算公式及其反求、等积变形、格点图形面积、割补法巧算面积等几何知识，本讲就是在之前学习的基础上，加强对基本公式、一些常见模型的掌握以及对画辅助线解决几何问题的过程深刻理解，并在此基础上学习勾股定理．

1. 面积计算公式

h a 三角形 S?ah?2

b a 正方形 S?a2 S?b2?2b a 等腰直角三角形

S?a2?2 S?b2?4

2. 常见模型

三角形面积=底×高÷2

阴影部分面积是长方形面积的一半

阴影部分面积是长方形（平行四边形）面积的一半

正方形面积=对角线的平方÷2

阴影部分面积是大正方形面积的一半

在计算一些不规则图形的面积时，往往需要利用一些技巧把不规则图形变成规则图形来求解．常用的技巧有割补和平移，在割补和平移的同时往往需要连辅助线，画辅助线巧妙的解决问题是几何学习中的重点、也是一大难点．

我们在之前学过的“等积变形”一讲中已经学习过了这一模块中的基本知识点，如下图所示：

A E D A

E D

B C B C

上面两个图形中，阴影部分面积都是其所在平行四边形面积的一半．一些特殊的平行四边形（如长方形、正方形）中存在这样的基本模型．

例题1

如图，正方形ABCD面积为20，E是BC上任意一点，DF与

A D AE垂直．已知AE长5，求DF长度．

F 「分析」已知正方形面积，我们可以计算出哪一块图形的面积呢？

E B 练习1

如图，长方形ABCD的长BC为15，AE=6，DF=10．那A 么AB长多少？

例题2

如图，在长方形ABCD中，三角形ADE的面积为A 20平方厘米，三角形BEF的面积为12平方厘米．求三角形CDF的面积． 「分析」你能找出图中哪些图形面积是长方形的一半吗？哪些与题目所给的20、12以及△CDF有关系呢？ 练习2

如图，E、F分别是平行四边形ABCD两条边上的点．已知△AFM面积为12，△BNF面积为8，△CEN面积为11．那么△DEM的面积是多少？

M 11

D E

C

A 12

F 8 N D F E B F E C D C B C B

勾股定理

如右图所示的直角三角形ABC中，∠A=90°，直角边AC与直角边AB

长度的平方和等于斜边BC长度的平方．即：

AC2?AB2?BC2 C

A B

反之，若三角形三边符合上述等式，则此三角形为直角三角形，BC为斜边． 勾股图与弦图

b a b

c c c a-b a

b b c a-b c a

c a-b a c

b a-b c

a 勾股图法：如上左图，小正方形内接于大正方形中，所截得的4个全等直角三角形的边长均已标出．大正方形的面积为?a?b?，小正方形的面积等于大正方形的面积减去4个全等直角三角形的面积．

因此有：?a?b?22?4ab?a2?2ab?b2?2ab?c2，所以c2?a2?b2． 2弦图法：如上右图，将大正方形分成4个全等的直角三角形和1个小正方形，各边长均已在图中标出．小正方形的面积加上4个全等的直角三角形的面积就等于大正方形的面积．

因此有：?a?b??2

4ab?a2?2ab?b2?2ab?c2，所以c2?a2?b2． 2练一练 计算出12、22、32、42、……、142、152．观察这15个完全平方数，其中三个完全平方数满足c2?a2?b2的有哪几组？