2???H(e)??H(k)????k?N??k?0j?N?1??2??N?sin??k????2??N?1??14?j????k?N?2??N?2????????H(k)e??2???n?0Nsin????k?/2N??????2e?Nsin214?j?15sin?NN?1?j?2?0.514?j?15??2??N?sin???????2??N?1?????14??N?2?N???e?j??2?????2???Nsin?????/2N??????0.5??2??N?sin?????14???j????2??14?N?1?????N?2???e??N?2???2???Nsin?????14?/2?N???????115?11/2??sin???152????????14??sinsin???sin?????2?215??215???? （3分）

四、1、直接计算DFT，乘法次数和加法次数都是和N2成正比的，当N很大时，运算量是很可观的，在实际运用中，不能满足实时性的要求。（5分）

2、

x(0)x(1)x(2)x(3)x(4)x(5)x(6)x(7)0WNX(0)W-10NX(4)X(2)-1W2NW-10NW-1-1-1-10N-1X(6)X(1)1WN0WNWW2N3NW-1-10N2N-1X(5)X(3)WW-10N

（评分标准：三级蝶形结构正确给4分，输入输出序排列正确给2分，其它系数正确给2分）

３、当x(n)的点数很多时，即当L>>M。通常不允许等x(n)全部采集齐后再进行卷积; 否则，使输出相对于输入有较长的延时。此外，若N=L+M-1 太大，h(n)必须补很多个零值点，很不经济，且FFT的计算时间也要很长。这时FFT法的优点就表现不出来了，因此需要采用分段卷积或称分段过滤的办法。即将x(n)分成点数和h(n)相仿的段，分别求出每段的卷积结果，然后用一定方式把它们合在一起，便得到总的输出，其中每一段的卷积均采用FFT方法处理。（４分）

重叠相加法：设h(n)的点数为M，信号x(n)为很长的序列。我们将x(n)分解为很多段，每段为L点，L选择成和M的数量级相同，用xi(n)表示x(n)的第i段： 则输入序列可表示成

X(7)x(n)??xi(n)i?0?

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这样，x(n)和h(n)的线性卷积等于各xi(n)与h(n)的线性卷积之和，即

?

y(n)?x(n)?h(n)??xi(n)?h(n)（2分） i?0每一个xi(n)*h(n)都可用上面讨论的快速卷积办

法来运算。 由于xi(n)*h(n)为L+M-1 点，故先对xi(n)及h(n)补零值点，补到N点。 为便于利用基-2 FFT算法，一般取N=2m≥L+M-1，然后作N点的圆周卷积：

由于xi(n)为L点，而yi(n)为（L+M-1）点（设N=L+M-1）， 故相邻两段输出序列必然有（M-1）个点发生重叠，即前一段的后（M-1）个点和后一段的前（M-1）个点相重叠，应该将重叠部分相加再和不重叠的部分共同组成输出y(n)。

分）

重叠相加法 （2

十一．两个有限长的复序列x[n]和h[n]，其长度分别为N 和M，设两序列的线性卷积为y[n]=x[n]*h[n]，回答下列问题：. (1) 序列y[n]的有效长度为多长？

(2) 如果我们直接利用卷积公式计算y[n] ，那么计算全部有效y[n]的需要多少次复数乘法？

(3) 现用FFT 来计算y[n]，说明实现的原理，并给出实现时所需满足的条件，画出实现的方框图，计算该方法实现时所需要的复数乘法计算量。 解：(1) 序列y[n]的有效长度为：N+M-1；

(2) 直接利用卷积公式计算y[n]， 需要MN次复数乘法 (3) 需要

3Llog2L次复数乘法。

补零L点-DFTL点-IDFT补零L点-DFT18

十二．用倒序输入顺序输出的基2 DIT-FFT 算法分析一长度为N点的复序列x[n] 的DFT，回答下列问题：

(1) 说明N所需满足的条件，并说明如果N不满足的话，如何处理？

(2) 如果N=8, 那么在蝶形流图中，共有几级蝶形？每级有几个蝶形？确定第2级中蝶形的蝶距(dm)和第2级中不同的权系数(WNr )。 (3) 如果有两个长度为N点的实序列y1[n]和y2 [n]，能否只用一次N点的上述FFT运算来计算出y1[n]和y2 [n]的DFT，如果可以的话，写出实现的原理及步骤，并计算实现时所需的复数乘法次数；如果不行，说明理由。

解(1)N应为2的幂，即N＝2m，（m为整数）；如果N不满足条件，可以补零。

(2)3级，4个，蝶距为(3) y[n]=y1[n]+jy2[n]

knY[k]??y[n]WNn?0N?12，WN0 ，WN2

1Y1[k]?Yep[k]?{Y[((k))N]?Y*[((?k))N]} 21Y2[k]?Yop[k]?{Y[((k))N]?Y*[((?k))N]}2十三．考虑下面4个8点序列，其中 0≤n≤7，判断哪些序列的8点DFT是实数，那些序列的8点DFT是虚数，说明理由。 (1) x1[n]={-1, -1, -1, 0, 0, 0, -1, -1}, (2) x2[n]={-1, -1, 0, 0, 0, 0, 1, 1}, (3) x3[n]={0, -1, -1, 0, 0, 0, 1, 1}, (4) x4[n]={0, -1, -1, 0, 0, 0, -1, -1}, 解：

*共轭反对称分量： xo(n)??xo(N?n)??Xo(N?n)*共轭对称分量： xe(n)?xe(N?n)?Xe(N?n)DFT[xe（n）]=Re[X（k）]

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DFT[x0（n）]=jIm[X（k）]

x4[n]的DFT是实数 , 因为它们具有周期性共轭对称性；x3[n] 的DFT是虚数 , 因为它具有周期性共轭反对称性 十四. 已知系统函数H(z)?解：

2?0.25z?1 H(z)??1?21?0.25z?0.3zY(z)2?0.25z?1 ?X(z)1?0.25z?1?0.3z?22?0.25z?11?0.25z?1?0.3z?2，求其差分方程。

Y(z)(1?0.25z?1?0.3z?2)?X(z)(2?0.25z?1)

y(n)?0.25y(n?1)?0.3y(n?2)?2x(n)?0.25x(n?1)

一、 填空题（本题满分30分，共含4道小题，每空2分）

1. 两个有限长序列x1(n)，0≤n≤33和x2(n)，0≤n≤36，做线性卷积后结果的长度

是 ，若对这两个序列做64点圆周卷积，则圆周卷积结果中n= 至 为线性卷积结果。 2. DFT是利用WNnk的 、 和 三个固有特性来实现FFT快速运算的。

3. IIR数字滤波器设计指标一般由 、 、 和 等四项组成。 4. FIR数字滤波器有 和 两种设计方法，其结构

有 、 和 等多种结构。

二、 判断题（本题满分16分，共含8道小题，每小题2分，正确打√，错误打×） 1. 相同的Z变换表达式一定对应相同的时间序列。（ ）

2. Chirp-Z变换的频率采样点数M可以不等于时域采样点数N。（ ） 3. 按频率抽取基2 FFT首先将序列x(n)分成奇数序列和偶数序列。（ ） 4. 冲激响应不变法不适于设计数字带阻滤波器。（ ）

5. 双线性变换法的模拟角频率Ω与数字角频率ω成线性关系。（ ） 6. 巴特沃思滤波器的幅度特性必在一个频带中（通带或阻带）具有等波纹特性。（ ） 7. 只有FIR滤波器才能做到线性相位，对于IIR滤波器做不到线性相位。（ ） 8. 在只要求相同的幅频特性时，用IIR滤波器实现其阶数一定低于FIR阶数。（ ） 三、 综合题（本题满分18分，每小问6分） 若x (n)= {3，2，1，2，1，2 }，0≤n≤5， 1) 求序列x(n)的6点DFT，X (k)=？

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