二、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（14分）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（sinB﹣sinC，sinC﹣sinA），=（sinB+sinC，sinA），且⊥． （1）求角B的大小；
（2）若△ABC的外接圆的半径为1，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵=（sinB﹣sinC，sinC﹣sinA），=（sinB+sinC，sinA），且⊥
，
∴（sinB﹣sinC）?（sinB+sinC）+（sinC﹣sinA）?sinA=0， ∴b2=a2+c2﹣ac， ∴2cosB=1， ∴B=
；
，故A==2，
，
（2）∵⊥，∴△ABC是RT△，而B=由
=
=2R，得：
=解得：a=1，b=故S△ABC=?
，
．
?1=16．（14分）如图，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，PE∥CB，M是AE的中点． （1）若N是PA的中点，求证：平面CMN⊥平面PAC； （2）若MN∥平面ABC，求证：N是PA的中点．
【解答】证明：（1）∵平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，
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∴BC⊥平面PAC，
∵PE∥CB，M是AE的中点，N是PA的中点， ∴MN∥PE，∴MN∥BC， ∴MN⊥平面PAC，
∵MN?平面CMN，∴平面CMN⊥平面PAC． （2）过A作AF∥BC，连结PF， ∵PE∥CB，AF∥BC，∴PE∥AF， ∴F、A、E、P共面，
∵MN∥平面ABC，MN?平面FAEP， 平面FAEP∩平面FABC=FA， ∴MN∥FA，
又FA∥BC，PE∥BC，∴MN∥PE， ∵M为AE中点，∴N是PA的中点．
17．（14分）在一个直角边长为10m的等腰直角三角形ABC的草地上，铺设一个也是等腰直角三角形PQR的花地，要求P，Q，R三点分别在△ABC的三条边上，且要使△PQR的面积最小，现有两种设计方案：
方案﹣：直角顶点Q在斜边AB上，R，P分别在直角边AC，BC上；
方案二：直角顶点Q在直角边BC上，R，P分别在直角边AC，斜边AB上．请问应选用哪一种方案？并说明理由．
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【解答】解：方案﹣：直角顶点Q在斜边AB上，R，P分别在直角边AC，BC上，则P，Q，R，C四点共圆，且AB与圆相切时△PQR的面积最小，最小面积为
=
；
方案二：直角顶点Q在直角边BC上，R，P分别在直角边AC，斜边AB上，设QP=QR=l，∠QRC=α， ∴2lsinα+lcosα=10， ∴l=
∴最小面积为∵
＞10，
=
=10，
≥
，
∴应选用方案二．
18．（16分）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，一个焦点到相
应的准线的距离为3，圆N的方程为（x﹣c）2+y2=a2+c2（c为半焦距），直线l：y=kx+m（k＞0）与椭圆M和圆N均只有一个公共点，分别为A，B． （1）求椭圆方程和直线方程； （2）试在圆N上求一点P，使
=2
．
【解答】解：（1）由题意有，解得a=2，c=1，
从而b=，
+
=1；
∴椭圆的标准方程为
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圆N的方程为（x﹣1）2+y2=5，圆心到直线的距离d=
=①
直线l：y=kx+m代入+
=1，整理可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，
∴△=0，可得m2=3+4k2，② 由①②，k＞0，可得m=2，k=， ∴直线方程为y=
；
（2）由（1），可得A（﹣1，1.5），B（0，2），
设P（x，y），则x2+（y﹣2）2=8（x+1）2+8（y﹣1.5）2，∴7x2+7y2+16x﹣20y+22=0 与（x﹣1）2+y2=5联立，可得x=﹣1，y=1或x=﹣∴P（﹣1，1）或（﹣
，y=
）．
（a＞0）． ，y=， 19．（16分）已知函数f（x）=lnx+
（1）当a=2时，求出函数f（x）的单调区间； （2）若不等式f（x）≥a对于x＞0的一切值恒成立，求实数a的取值范围． 【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）， a=2时，f（x）=lnx+ f′（x）=﹣
=
令f′（x）=0，得x=e
①当0＜x＜e时，f′（x）＜0，则f（x）在区间（0，e）上是单调递减的 ②当e＜x时，f′（x）＞0，则f（x）在区间（e，+∞）上是单调递增的 ∴f（x）的递减区间是（0，e），单增区间是（e，+∞）． （2）原式等价于xlnx+a+e﹣2﹣ax≥0在（0，+∞）上恒成立． 令g（x）=xlnx+a+e﹣2﹣ax． ∵g′（x）=lnx+1﹣a 令g′（x）=0，得x=ea﹣1
①0＜x＜ea﹣1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减 ②ea﹣1＜x时，g′（x）＞0，g（x）单调递增
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