", ≥ ", ，可以得到算数均数一定大于

等于几何均数。

４．常用的描述集中趋势的指标有哪些，并简述其适用条件。

答：（1）算术均数：适用对称分布，特别是正态或近似正态分布的数值变量资料。

（2）几何均数：适用于频数分布呈正偏态的资料，或者经对数变换后服从正态分布（对数 正态分布）的资料，以及等比数列资料。

（3）中位数：适用各种类型的资料，尤其以下情况：

A 资料分布呈明显偏态；B 资料一端或两端存在不确定数值（开口资 料或无界资料）；C 资料分布不明。

第三章

一、 是非题

1. 二项分布越接近 Poisson 分布时，也越接近正态分布。

答：错。当二项分布的π 不太接近 0或者 1，随着ｎ的增大，nπ 和n(1?π )均较大时， 二项分布的X 的逐渐近似正态分布； n 较大，π 较小，二项分布的X 近似总体均数为

μ = nπ 的 Poisson 分布，只有n较大、π 较小并且nπ 较大时，二项分布的 X 既近

似

Poisson 分布又近似正态分布，其本质是当n 较大、π 较小时二项分布的X 所近似的 Poisson 分布在其总体均数μ = nπ 较大时逼近正态分布。

2. 从同一新生儿总体（无限总体）中随机抽样 200 人，其中新生儿窒息人数服从二项 分布。

答：对。因为可以假定每个新生发生窒息的概率π 是相同的并且相互独立，对于随机抽 取 200 人，新生儿窒息人数 X 服从二项分布B(n,π )。

3. 在 n 趋向无穷大、总体比例π趋向于0，且nπ 保持常数时的二项分布的极限分布是 Poisson 分布。

答：对。这是二项分布的性质。

4. 某一放射物体，以一分钟为单位的放射性计数为 50，40，30，30，10，如果以5 分 钟为时间单位，其标准差为 160 5 。

答：错。设i X 服从总体均数为μ 的 Poisson 分布，i = 1,2,3,4,5，并且相互独立。根据 Poisson 分布的可加性， 1 2 3 4 5 X + X + X + X + X 服从总体均数为5μ ，___________

其总体方差为

5μ ，本题 5 分钟的总体方差5μ 的估计值为50 + 40 + 30 + 30 +10 = 160，所以其

标准

差为160 。

5. 一个放射性物体一分钟脉冲数为 20 次，另一个放射性物体一分钟脉冲数为50 次。 假定两种放射性物体的脉冲性质相同，并且两种放射性物体发生脉冲是相互独立的， 则这两种物体混合后，其一分钟脉冲数的总体均数估计值为70 次。

答：对。根据Poisson 分布的可加性，这两种物体混合后的发生的脉冲数为1 2 X + X ，混 合后一分钟脉冲数的总体均数估计值为20+50＝70 次。

6. 一个放射性物体平均每分钟脉冲数为 5 次（可以认为服从Poisson 分布），用X 表示 连续观察20 分钟的脉冲数，则X 也服从Poisson 分布。 答：对，这是Poisson 分布的可加性。

7. 一个放射性物体平均每分钟脉冲数为 5 次（可以认为服从Poisson 分布），用X 表示 连续观察20 分钟的脉冲数，则X 的总体均数和总体方差均为100 次。 答：对。Poisson 分布的可加性原理。

8. 用 X 表示某个放射性物体的每分钟脉冲数，其平均每分钟脉冲数为5 次（可以认为 服从Poisson 分布），用Y 表示连续观察20 分钟的脉冲数，则可以认为Y 近似服从正 态分布，但不能认为X 近似服从正态分布。

答：对。因为Y 的总体均数为100，当μ比较小的时候，Poisson 分布是一个偏态的分布， 但是当μ增大时，Poisson 分布会逐渐趋于对称。 二、 选择题

1. 理论上，二项分布是一种 B。 A 连续性分布 B 离散分布 C 均匀分布 D 标准正态分布

2. 在样本例数不变的情况下，下列何种情况时，二项分布越接近对称分布。 C A 总体率π越大 B 样本率P 越大 C 总体率π越接近0.5 D 总体率π越小

3. 医学上认为人的尿氟浓度以偏高为不正常，若正常人的尿氟浓度X 呈对数正态分 布，Y = lgX , G 为X 的几何均数，尿氟浓度的95%参考值范围的界值计算公式是 A 。 A lg 1( 1.64 ) Y ? Y + S B + 1.96 X G S C + 1.64 X G S D lg 1( 1.96 ) Y ? Y + S

4. 设1 2 10 X , X ,",, X 均 服 从 B(4,0.01) ， 并 且 1 2 10 X , X ,",, X 相 互 独 立 。 令 1 2 10 Y = X + X +",+ X ，则 D

A Y 近似服从二项分布 B Y 近似服从Poisson 分布 C Y 近似服从正态分布 D Y ~ B(40,0.01)

5. 设1 2 10 X , X ,",, X 均服从 Poisson(2.2) ，并且 1 2 10 X , X ,",, X 相互独立。令 1 2 10 Y = (X + X +",+ X ) /10，则 C

A Y 近似服从B(10,0.22) B Y 服从Poisson(22)分布 C Y 近似服从正态分布 D Y 服从Poisson(2.2)分布 三、 简答题

1. 如果X 的总体均数为μ，总体标准差为?，令Y ＝a+bX，则可以证明：Y 的总体均 数为a+bμ，标准差为b?。如果X 服从μ＝40 的Poisson 分布，请问：Y = X /2 的总体 均数和标准差是多少？

答：总体均数=20，总体标准差= 40 / 2。

2. 设X 服从μ＝40 的Poisson 分布，请问：Y = X /2 是否服从Poisson 分布？为什么？ 答：不是的。因为Y = X /2 的总体均数=20，不等于总体方差10。

3. 设X 服从μ＝40 的Poisson 分布，可以认为X 近似服从正态分布。令Y = X /10，

试问：是否可以认为Y 也近似服从正态分布？

答：正态分布的随机变量乘以一个非0 常数仍服从正态分布，所以可以认为Y 也近似 服从正态分布。

4. 设X 服从均数为μ的 Poisson 分布。请利用两个概率之比：P(X +1) / P(X )，证明： 当x < μ ?1 时，概率P(X )随着X 增大而增加；当 X > μ 时，概率P(X )随着X 增大 而减小。 答：

1

( 1)/( ) ( )/[ ] /( 1) ( 1)! !

x x

P X x P X x e e x x x

μ μ μ μ μ

+

= + = = ? ? = + +

, 显然， 当

x < μ ?1 时，对应x +1 < μ ,由此得到 1 x 1

μ > +

，所以P(X = x +1) / P(X = x) > 1，

说 明 概 率 P(X ) 随 着 X 增 大 而 增 加 ； 当 X > μ 时 ， 则

( 1)/( ) 1 1

P X x P X x x x

μ μ = + = = < < +

，说明当X>μ时，概率P(X )随着X 增大而减 小。

5. 已知某饮用水的合格标准是每升水的大肠杆菌数≤2 个，如果随机抽取1 升饮用水， 检测出大肠杆菌数的95％参考值范围是多少？（提示考虑合格标准的总体均数最大值

为2 个/L，求95％参考值范围）。

答：由于合格标准的总体均数最大值为2 个/L，对于正常而言，大肠杆菌数越少越好， 所以这是单侧参考值范围。即求满足累计概率的不等式2

0 0

( | 2) 2 0.95 !

X X k k k

P k e k

μ ?

= =

Σ = =Σ ≤

的最大X 的解。 X 0 1 2 3 4 5 6

P(X ) 0.135335 0.270671 0.270671 0.180447 0.090224 0.036089 0.01203

0

( )

X k

P k

=

Σ

0.135335 0.406006 0.676676 0.857123 0.947347 0.983436 0.995466 根据上述计算得到 X 的95％参考值范围是 X < 5个/L。？

第四章

一、是非题

1、设 X 的总体均数为μ，则样本均数X 的总体均数也为μ。 答：对。经随机抽样得到的样本均数X 的总体均数也为μ。 2、设 X 的总体方差为?2，则样本均数X 的总体方差也为?2。 答：错。经随机抽样后得到的样本均数X 的总体方差为?2/n。 3、设 随 机 变 量1, , n X … X 均服从 B(1,π ) ，n 很大时，则

1

1 n

i i

X X n =

= Σ 近似服从