（2）正则性
?p(xi?1?i)?1.
以上两条基本性质是分布列必须具有的性质，也是判别某个数列是否能成为分布列的充要条件。
由离散型随机变量X的分布列很容易写出X的分布函数
F(x)??p(xi)
xi它的图形是有限级（或无穷极）的阶梯函数。
F?x?是一个跳跃函数，它在xi处有跳跃度p(xi).可见F?x?可以唯一决定xi和
p(xi).
例1、设随机变量X的分布列为
X P 1 0.25 2 0.5 3 0.25 试求X的概率分布列及P(X?0.5)，P(1.5?X?2.5） ，并写出X的分布函数。 解：P(X?0.5)?P?X??1??0.25，P(1.5?X?2.5)?P?X?2??0.5.
x??1，?0,?0.25,?1?x?2,? F(x)???0.25?0.5?0.75,2?x?3,??0.25?0.5?0.25?1,x?3.F?x?的图形如图所示，它是一条阶梯型的曲线，在X可能取值-1，2，3处有右连续的跳跃点，其跳跃度分别为X在其可能取值点的概率：0.25，0.5，0.25.
y -1 0 1 2 3 x
特别，常量c可看作仅取一个值的随机变量X，即P(X?1)?c.这个分布常称为单
?0,x?c,F(x)??
?1,x?c.
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点分布或退化分布，它的分布函数是
F(x) 1
0 c x
单点分布函数图
以上例子可以得出这样一个结论：离散型随机变量的分布函数F?x?总是阶梯函数。 结论1 若随机变量?为离散型，那么其分布函数F?x?为阶梯函数。 证明
?为离散型随机变量
）
??的分布列为????xi???i， i?1,2,3, （不妨这里设x1?x2??xi?xi?1? 下证（1）当x?x1时，F?x??0； （2）当xi?x?xi?1， i?1,2,3,时，F?x??ci（常数），且
0?ci?ci?1?1.
事实上，（1）当x?x1时，
F?x??xk?x1?????x???????0;
k（2）当xi?x?xi?1，i?1,2,3,i时，
F?x???????xk???????xk?.
xk?xk?1 这是?取i（有限）个值对应概率相加
时，F?x??ci
i?1 ?其和一定存在，记为ci，即 当xi?x?xi?1, i?1,2,3,i 显然，0?ci??????xk???????xk??ci?1?1.
k?1k?1 综上可知，?的分布函数F?x?为阶梯函数。 3．用分布函数判别离散型随机变量的一种方法
我们还可以借助分布函数来给出离散型随机变量的判别条件。
结论2 设随机变量?的分布函数为F?x?.若F?x?是阶梯型函数，则?为离散型随机变量。
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证明
F?x?是?的分布函数 F?x?是阶梯函数
?F?x?一定是右连续
?F?x?是有有限个或可列个间断点的分段函数不妨间断点按由小到大的顺序排列起来的顺序为x1?x2??0,?c,?1??c, 则F?x???2??ci,???x?x1x1?x?x2x2?x?x3xi?x?xi?1?xi?xi?1?
其中，ci，i?1,2,3,为常数，0?ci?1
为?的分布列。
下证????xi??F?xi?0??F?xi?， i?1,2,3,（1）F?x?是单调不减的函数
?????xi??F?xi?0??F?xi??ci?ci?1?0 （2）F?xi?0??F?xi?1?
??????xi?????F?xi?0??F?xi???i?1i?1???lim???F?xi?0??F?x????limF?xn?1??1n??i?1n??n
综合（1）、（2）可知： ????xi??F?x??i0， i?1,2,3,?F??ix是?的分布列。
（三）非离散型随机变量
由于非离散型随机变量的情况比较复杂，它的所有可能取值不能一一列举出来，但它总的情况可以分为连续型随机变量和既不离散也不连续的随机变量。 1．连续型随机变量及密度函数的定义
假如一个随机变量的可能取值充满数轴上的一个区间(a,b)，则称其为连续随机变量。
Fx)，如果存在实轴上的一个非负可积函数定义 设随机变量X的分布函数为 (p(x)，使得对任意实数x有
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F(x)??p(t)dt
??x则称p(x)为X的概率密度函数，简称密度函数，或称密度。 2．密度函数的性质
（1）非负性 p(x)?0 （2）正则性
?????（含有p(x)的可积性）。 p(x)d?x1以上两条性质是密度函数必须具备的基本性质，也是确定或判别某个函数是否成为密度函数的充要条件。
例：向区间(0,a)上任意投点，用X表示点的坐标。设这个点落在(0,a)中任意一个小区间的概率与这个小区间的长度成正比，而与小区间的位置无关。求X得分布函数和密度函数。
解：记X的分布函数为F(x)，则
当x?0时，因为?X?x?是不可能事件，所以F(x)?P(X?x)?0； 当x?a时，因为?X?x?是必然事件，所以F(x)?P(X?x)?1；
当0?x?a时，有F(x)?P(X?x)?P(0?X?x)?kx，其中k为比例系数。因为
1?F(a)?ka，所以得k?1. a于是X的分布函数为
x?0,?0,?x?F(x)??,0?x?a,
?ax?a.??1,下面求X的密度函数p(x).
当x?0或x?a时，p(x)?F'(x)?0; 当0?x?a时，p(x)?F'(x)?1， a而在x?0和x?a处，p(x)可取任意值，一般就近取值为宜，这不会影响概率的计算，因为它们是几乎处处相等的密度函数。于是X的密度函数为
?1?,0?x?a, p(x)??a?其他.?0,这个分布就是区间(0,a)上的均匀分布，记为U(0,a)，其密度函数p(x)和分布函数的图形如下。
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