证明: 设一块为m1，则另一块为m2，
m1?km2及m1?m2?m
kmmm1?,m2?k?1k?1 ① 于是得
又设m1的速度为v1, m2的速度为v2，则有
T?12m1v1?212m2v2?212mv2 ②
mv?m1v1?m2v2 ③
联立①、③解得
v2?(k?1)v?kv1 ④
将④代入②，并整理得
2Tkm?(v1?v)2
于是有 将其代入④式，有
v1?v?2Tkm 2kTm
又，题述爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，故只能取
v1?v?2kTm,v2?v?2Tkm
v2?v?证毕．
2-12 设
的功．(2)如果质点到r处时需0.6s，试求平均功率．(3)如果质点的质量为1kg，试求动能的变化． 解: (1)由题知，
?F合???F合?7i?6jN?????r??3i?4j?16kmF．(1) 当一质点从原点运动到时，求所作
为恒力，
A合∴
????????F?r?(7i?6j)?(?3i?4j?16k)
??21?24??45J
P?A?t?450.6?75w(2)
?E
k(3)由动能定理，
2-13 以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1 cm，问击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同．
?A??45J解: 以木板上界面为坐标原点，向内为y坐标正向，如题2-13图，则铁钉所受阻力为
题2-13图
f??ky
第一锤外力的功为A1
2 ①
式中f?是铁锤作用于钉上的力，f是木板作用于钉上的力，在dt?0时，f???f．
ss0A1??f?dy???fdy??1kydy?k设第二锤外力的功为A2，则同理，有
A2??y21kydy?1212ky2?2k2 ② k2 ③
由题意，有
A2?A1??(1ky2?2mv)??k2
2k2即 2所以， y2?于是钉子第二次能进入的深度为
2
2?1?0.414cm
n?y?y2?y1?2-14 设已知一质点(质量为m)在其保守力场中位矢为r点的势能为EP(r)?k/r, 试求质点所受保守力的大小和方向．
dE(r)nkF(r)???n?1drr解:
?方向与位矢r的方向相反，即指向力心．
2-15 一根劲度系数为k1的轻弹簧A的下端，挂一根劲度系数为k2的轻弹簧B，B的下端 一重物C，C的质量为M，如题2-15图．求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势
能之比．
解: 弹簧A、B及重物C受力如题2-15图所示平衡时，有
题2-15图
FA?FB?Mg
又 FA?k1?x1
FB?k2?x2
所以静止时两弹簧伸长量之比为
?x1?x2?k2k1
2弹性势能之比为
1Ep1Ep2?21k1?x1?k2?x22k2k12
2-16 (1)试计算月球和地球对m物体的引力相抵消的一点P，距月球表面的距离是多少?地
球质量5.98310kg，地球中心到月球中心的距离3.84310m，月球质量7.35310kg，月球半径1.743106m．(2)如果一个1kg的物体在距月球和地球均为无限远处的势能为零，那么它在P点的势能为多少?
解: (1)设在距月球中心为r处F月引?F地引，由万有引力定律，有
GmMr2月24822
?GmM地?R?r?2经整理，得
r?M月M地
?M月R
222287.35?10=
5.98?10246?m
7.35?10?3.48?10
?38.32?10则P点处至月球表面的距离为
h?r?r月?(38.32?1.74)?106?3.66?10m7
(2)质量为1kg的物体在P点的引力势能为
EP??GM月r?G11M地?R?r?
?7.35?103.83?10227??6.67?10?6.67?10?11?5.98?1024?38.4?3.83??107
?1.28?106J
2-17 由水平桌面、光滑铅直杆、不可伸长的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为m1和m2的滑块组成如题2-17图所示装置，弹簧的劲度系数为k，自然长度等于水平距离BC，m2与桌面间的摩擦系数为?，最初m1静止于A点，AB＝BC＝h，绳已拉直，现令滑块落下m1,求它下落到B处时的速率．
解: 取B点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则由功能原理，有
??m2gh?12(m1?m2)v?[m1gh?212k(?l)]2
式中?l为弹簧在A点时比原长的伸长量，则 联立上述两式，得
?l?AC?BC?(2?1)h
v?2?m1??m2?gh?khm1?m22?2?1?2
题2-17图
2-18 如题2-18图所示，一物体质量为2kg，以初速度v0＝3m2s从斜面A点处下滑，它与斜面的摩擦力为8N，到达B点后压缩弹簧20cm后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度．
解: 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原 长处为弹性势能零点。则由功能原理，有
-1
?1?22kx??mv?mgssin37??2?2? 12mv?mgssin37??frsk?212kx2
式中s?4.8?0.2?5m，x?0.2m，再代入有关数据，解得
?frs?k?1390N?m
-11题2-18图
再次运用功能原理，求木块弹回的高度h?
?frs??mgs?sin37o
?12kx2
代入有关数据，得 s??1.4m, 则木块弹回高度
h??s?sin37o?0.84m
题2-19图
2-19 质量为M的大木块具有半径为R的四分之一弧形槽，如题2-19图所示．质量为m的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，求小木块脱离大木块时的速度．
解: m从M上下滑的过程中，机械能守恒，以m，M，地球为系统，以最低点为重力势