题2-2图
X方向： Fx?0 x?v0t ① Y方向：
Fy?mgsin??may ②
t?0时 y?0 vy?0
y?12gsin?t2由①、②式消去t，得
y?12v02
2gsin??x
fy2-3 质量为16 kg 的质点在xOy平面内运动，受一恒力作用，力的分量为fx＝6 N，-7 N，当t＝0时，x?y?0，vx＝-2 m2s，当t＝2 s时质点的 (1)位矢；(2)速度．
-1
＝
vy＝0．求
解：
ax?fxm?fym616??38m?sm?s?2
?2ay??71638(1)
vx?vx0?vy?vy0?
54m?sm?s?1?1?202axdt??2?aydt??716?2??78?0?2??
?1于是质点在2s时的速度
5?7??v??i?j48m?s
(2)
?1?1?22r?(v0t?axt)i?aytj22?1?7?13?(?2?2???4)i?()?4j2821613?7???i?jm48
2-4 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力kv(k为常数)作用，t=0时质点的
速度为
v0，证明(1) t时刻的速度为v＝)［1-e1?(km)tv0e?(km)t；(2) 由0到t的时间内经过的距离为
v0(mk)mv0x＝(k］；(3)停止运动前经过的距离为
；(4)证明当t?mk时速
度减至
v0的e，式中m为质点的质量．
a??kvm?dvdt
答: (1)∵ 分离变量，得
dvv?即
vdvv???kdtm t?kdtm?ktmv0?0
lnvv0?lne?km
t∴ v?v0e(2)
(3)质点停止运动时速度为零，即t→∞， 故有
m k(1?e?kmx??vdt?x???t0v0e?kmtdt?mv0t)
??0v0e?kmtdt?mv0k
(4)当t=k时，其速度为
v?v0e1??kmmk?v0e?1?v0e
即速度减至
v0的e.
12-5 升降机内有两物体，质量分别为m1，m2，且m2＝2m1．用细绳连接，跨过滑轮,绳子不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速a＝2g上升时，求：(1) m1和m2相对升降机的加速度．(2)在地面上观察m1，m2的加速度各为多少?
解: 分别以m1,m2为研究对象，其受力图如图(b)所示．
(1)设m2相对滑轮(即升降机)的加速度为a?，则m2对地加速度a2?a??a；因绳不可伸长，故m1对滑轮的加速度亦为a?，又m1在水平方向上没有受牵连运动的影响，所以m1在水平方向对地加速度亦为a?，由牛顿定律，有
m2g?T?m2(a??a)
T?m1a?
题2-5图
联立，解得a??g方向向下 (2) m2对地加速度为
a2?a??a?g2 方向向上
m1在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵连加速度，即
a1?12??'?a绝?a相?a牵
a??a?26.6o22?g2?g2∴ ??arctanaa?4?52g
?arctan?v?2-6一质量为m的质点以与地的仰角=30°的初速0从地面抛出，若忽略空气阻力，求质
点落地时相对抛射时的动量的增量． 解: 依题意作出示意图如题2-6图
，左偏上．
题2-6图
在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下, 而抛物线具有对y轴对称性，故末速度与x轴夹角亦为30，则动量的增量为
o由矢量图知，动量增量大小为，方向竖直向下．
2-7 一质量为m的小球从某一高度处水平抛出，落在水平桌面上发生弹性碰撞．并在抛出1 s，跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也与抛出时相等．求小球与桌面碰撞过程中，桌面给予小球的冲量的大小和方向．并回答在碰撞过程中，小球的动量是否守恒? 解: 由题知，小球落地时间为0.5s．因小球为平抛运动，故小球落地的瞬时向下的速度大小为v1?gt?0.5g，小球上跳速度的大小亦为v2?0.5g．设向上为y轴正向，则动量的增量 ????p?mv2?mv1方向竖直向上，
??p?mv2?(?mv1)?mg大小
碰撞过程中动量不守恒．这是因为在碰撞过程中，小球受到地面给予的冲力作用．另外，碰撞前初动量方向斜向下，碰后末动量方向斜向上，这也说明动量不守恒．
?F?(10?2t)i2-8 作用在质量为10 kg的物体上的力为N，式中t的单位是s，(1)求4s后，
这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量．(2)为了使这力的冲量为200 N2s，
??6jm2s-1的物体,该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度
回答这两个问题．
解: (1)若物体原来静止，则
??t?4??1?p1??Fdt??(10?2t)idt?56kg?m?si00,沿x轴正向，
???p1??1?v1??5.6m?sim????1I1??p1?56kg?m?si?mv0????p?mv?mv0
若物体原来具有?6m?s初速，则
?tF?????p0??mv0,p?m(?v0??dt)??mv0?0m?1?t0?Fdt于是
??Fdt??p1?0,
????I?I1 ?v??v1,2同理， 2这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理． (2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即
????p2?p?p0?tI??t0(10?2t)dt?10t?t2
亦即 t?10t?200?0 解得t?10s，(t??20s舍去)
2-9 一质量为m的质点在xOy平面上运动，其位置矢量为
???r?acos?ti?bsin?tj ?求质点的动量及t＝0 到解: 质点的动量为
?2?分别代入上式，得
????p1?m?bj,p2??m?ai,
t?2?时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量．
2????p?mv?m?(?asin?ti?bcos?tj)
将t?0和
t?则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为
2-10 一颗子弹由枪口射出时速率为
??????I??p?p2?p1??m?(ai?bj)
?1v0m?s，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为
F =(a?bt)N(a,b为常数)，其中t以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，
试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量． 解: (1)由题意，子弹到枪口时，有
F?(a?bt)?0,得
t?ab
2(2)子弹所受的冲量
I?t?ab代入，得
2?t0(a?bt)dt?at?12bt
将
I?a2b
?a2(3)由动量定理可求得子弹的质量
m?Iv02bv0
mv2-11 一炮弹质量为，以速率飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药
使弹片增加的动能为T，且一块的质量为另一块质量的k倍，如两者仍沿原方向飞行，试证其速率分别为
2kT2Tv+
m, v-km