二. 杆件四种基本变形的公式及应用

1. 四种基本变形： 基本变形 截面几何 刚度 性质 拉伸与压缩 面积：A 抗拉(压) ??N A刚度 EA —— Q?? A应力公式 变形公式 备注 Nl注意变截面及 ?l? EA变轴力的情况 实用计算法 —— 剪切 圆轴扭转 面积：A 极惯性矩 抗扭刚度 ?max?MTmax ??MTl WpGIP2Ip???dA GIP 惯性矩 Iz??y2dA 纯弯曲 抗弯刚度 EIZ Mmax?max?WZd2yM（x）挠度y ??EIZdx2 转角dy?? 1M（x）（?dx?EIZ2. 四种基本变形的刚度，都可以写成：

刚度 = 材料的物理常数×截面的几何性质 1)物理常数：

某种变形引起的正应力：抗拉（压）弹性模量E； 某种变形引起的剪应力：抗剪（扭）弹性模量G。 2)截面几何性质：

拉压和剪切：变形是截面的平移： 取截面面积 A； 扭转：各圆截面相对转动一角度或截面绕其形心转动：

取极惯性矩I?；

梁弯曲：各截面绕轴转动一角度：取对轴的惯性矩IZ。

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3. 四种基本变形应力公式都可写成：

内力应力=

截面几何性质对扭转的最大应力：截面几何性质取抗扭截面模量Wp?I??max

IZ对弯曲的最大应力：截面几何性质取抗弯截面模量WZ?y

max

4. 四种基本变形的变形公式，都可写成：

内力?长度变形=刚度

因剪切变形为实用计算方法，不考虑计算变形。

1d2y弯曲变形的曲率 ?（x）??2，一段长为 l 的纯弯曲梁有：

dxMxll????（x）EIz

补充与说明：

1、关于“拉伸与压缩”

指简单拉伸与简单压缩，即拉力或压力与杆的轴线重合；若外荷载作用线不与轴线重合，就成为拉（压）与弯曲的组合变形问题；杆的压缩问题，要注意它的长细比?（柔度）。这里的简单压缩是指“小柔度压缩问题”。 2、关于“剪切”

实用性的强度计算法，作了剪应力在受剪截面上均匀分布的假设。要注意有不同的受剪截面：

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a.单面受剪：

受剪面积是铆钉杆的横截面积； b.双面受剪：

受剪面积有两个：考虑整体结构，受剪面积为2倍销钉截面积；运用截面法，外力一分为二，受剪面积为销钉截面积。

c.圆柱面受剪：

受剪面积以冲头直径d为直径，冲板厚度 t 为高的圆柱面面积。 3.关于扭转

表中公式只实用于圆形截面的直杆和空心圆轴。等直圆杆扭转的应力和变形计算公式可近似分析螺旋弹簧的应力和变形问题是应用杆件基本变形理论解决实际问题的很好例子。 4.关于纯弯曲

纯弯曲，在梁某段剪力 Q=0 时才发生，平面假设成立。 横力弯曲（剪切弯曲）可以视作剪切与纯弯曲的组合，因剪应力平行于截面，弯曲正应力垂直于截面，两者正交无直接联系，所以由纯弯曲推导出的正应力公式可以在剪切弯曲中使用。

5.关于横力弯曲时梁截面上剪应力的计算问题

为计算剪应力，作为初等理论的材料力学方法作了一些

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巧妙的假设和处理，在理解矩形截面梁剪应力公式时，要注意以下几点：

1) 无论作用于梁上的是集中力还是分布力，在梁的宽度上都是均匀分布的。故剪应力在宽度上不变，方向与荷载（剪力）平行。

2) 分析剪应力沿梁截面高度分布变化规律时，若仅在截面内，有?n?(h)bdh?Q，因 ???(h) 的函数形式未知，无法积分。但由剪应力互等定理，考虑微梁段左、右内力的平衡，可以得出：

*QSZ??Izb

*S剪应力在横截面上沿高度的变化规律就体现在静矩z上，

Sz*总是正的。

剪应力公式及其假设：

a.矩形截面

假设1：横截面上剪应力τ与矩形截面边界平行，与剪应力Q的方向一致；

假设2：横截面上同一层高上的剪应力相等。 剪应力公式：

*QSz(y)?(y)?Izb ，

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