【附20套高考模拟试题】2020届天津市六校(静海一中,杨村中学,宝坻一中,大港一中等)高考数学模拟试卷含 下载本文

(Ⅰ)若从甲、乙两人中选出1人参加比赛,你认为选谁合适?写出你认为合适的人选并说明理由; (Ⅱ)若同一次考试成绩之差的绝对值不超过5分,则称该次考试两人“水平相当”.由上述5次摸底考试成绩统计,任意抽查两次摸底考试,求恰有一次摸底考试两人“水平相当”的概率.

18.已知三棱柱??C??1?1C1中,侧棱垂直于底面,???5,?C?4,?C?3,??1?4,点D在AB上.

(Ⅰ) 若D是??中点,求证:?C1//平面?1CD; (Ⅱ)当

?D1?时,求二面角??CD??1的余弦值 ??5x2219.(本小题满分12分)设点F1(?c,0)、F2(c,0)分别是椭圆C:2?y?1(a?1)的左、右焦点,P为

a椭圆C上任意一点,且PF1?PF2的最小值为0. (1)求椭圆C的方程;

(2)设直线l1:y?kx?m,l2:y?kx?n(直线l1、l2不重合),若l1、l2均与椭圆C相切,试探究在x轴上是否存在定点Q,使点Q到l1、l2的距离之积恒为1?若存在,请求出点Q坐标;若不存在,请说明理由. 20.(本小题满分13分)已知函数f(x)?x?alnx,g(x)??(Ⅰ)若a?1,求函数f(x)的极值;

(Ⅱ)设函数h(x)?f(x)?g(x),求函数h(x)的单调区间;

(Ⅲ)若存在x0?[1,e],使得f(x0)?g(x0)成立,求a的取值范围.

21.①选修4-2:矩阵与变换 已知矩阵A??2??1 ?. ??14?1?a(a?0). x(1)求A的逆矩阵A?1;

(2)求矩阵A的特征值?1、?2和对应的一个特征向量?1、?2 ②选修4—4:坐标系与参数方程

uuruur?2x?3?t??2在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为?(t为参数),在极坐标系(与直角坐标

?y?5?2t??2系xOy取相同的单位长度,且以原点O为极点,以x轴正半轴 为极轴)中,圆C的方程为??25sin?. (1)求圆C的直角坐标方程;

(2)设圆C与直线l交于A,B两点,若点P坐标为(3,5),求|PA|?|PB|. ③选修4—5:不等式选讲学 设函数f(x)?|2x?1|?|x?3|。 (Ⅰ)解不等式f(x)?0;

(Ⅱ)已知关于x的不等式a?3?f(x)恒成立,求实数a的取值范围。

参考答案

一.ADDBB CBCBD 二 {?1,0,1} 20

3 94.5 ①③④

?2x(x?0)?2?210.由题可知,f(x)??2x??(0?x?1),画出图像如图,当函数g(x)?f(x)?k恰有两个零点,

x?xx?2?(x?1)即函数f(x)?k有两个交点时,实数k的取值范围为(2,??);

16.(1)Qsin(?A)?cosA,?cosA?π25311, 又Q0?A?π, ?sinA?.

14141πQcos(π?B)??cosB??,且0?B?π, ?B?. 6分

23aba?sinB (2)由正弦定理得??b??7,

sinAsinBsinA2222另由b?a?c?2accosB得49?25?c?5c,解得c?8或c??3(舍去),

?b?7,c?8.

17(Ⅰ)答案一: x甲?x乙?85,s甲?s乙 ,从稳定性角度选甲合适.

答案二:Qx甲?x乙?85,s甲?s乙乙的成绩波动大,有爆发力,选乙合适.

(Ⅱ)恰有一次摸底考试两人“水平相当”包括共aA,aB,aC,bA,bB,bC共6种情况. ?5次摸底考试

2222成绩统计,任意抽查两次摸底考试,恰有一次摸底考试两人“水平相当”概率P(A)?63?. 10518.(Ⅰ) 连结BC1,交B1C于E,连结DE. ∵ 直三棱柱ABC?A1B1C1, ∴侧面BB1C1CD是AB中点,为矩形,DE为?ABC1的中位线∴ DE//AC1.

∵DE?平面B1CD,AC1? 平面B1CD,∴AC1//平面B1CD . (Ⅱ)∵ AC?BC, 由直三棱柱可知,CC1?BC,CC1?AC, 所以如图,以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz. 则B(3,0,0),A(0,4,0),A1(0,4,4)B1(3,0,4). 设D(a,b,0)(a?0,b?0),

uuur1uuurBD1∵点D在线段AB上,且?, 即BD?BA.

AB55uuuruuuruuur124124∴a?,b?. BC?(?3,0,4),BA?(?3,4,0),CD?(,,0),

5555uurrBCD平面的法向量为n?(0,0,1), 设平面B1CD的法向量为n2?(x,y,1), uuuruur4??3x?4z?0?uur?4??x???B1C?n2?0由 ?uuu, 得?12 , 所以,即n?(?,4,1). 3ruur4?23x?y?0????CD?n2?05?5?y?4uruurn?n23设二面角B?CD?B1的大小为?, cos??|ur1uur?

|n1|?|n2|13所以二面角B?CD?B1的余弦值为

3. 1319.(1)设P(x,y),则有F1P?(x?c,y),F2P?(x?c,y)

a2?12PF1?PF2?x?y?c?x?1?c2,x???a,a? 2a22222由PF1?PF2最小值为0得1?c?0?c?1?a?2,

x2∴椭圆C的方程为?y2?1 4分

2(2)把l1的方程代入椭圆方程得(1?2k)x?4mkx?2m?2?0] ∵直线l1与椭圆C相切,∴??16km?4(1?2k)(2m?2)?0,化简得

2222222m2?1?2k2 同理可得n2?1?2k2

∴m2?n2,若m?n,则l1,l2重合,不合题意, ∴m??n,即m?n?0 8分 设在x轴上存在点Q(t,0),点Q到直线l1,l2的距离之积为1,则

|kt?m||kt?m|??1,即|k2t2?m2|?k2?1, k2?1k2?1把1?2k2?m2代入并去绝对值整理, k(t?3)?2或者k(t?1)?0

前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的k?R恒成立 则t2?1?0,解得t??1; 综上所述,满足题意的定点Q存在,其坐标为(?1,0)或(1,0) 13分 20.(Ⅰ)f(x)?x?alnx的定义域为(0,??) 当a?1时,f?(x)?2222x?1??. f(x)?0,解得x?1.当0?x?1时,f(x)?0,f(x)单调递减;当x?1x?时,f(x)?0,f(x)单调递增;

所以当x?1时,函数f(x)取得极小值,极小值为f(1)=1?ln1?1; ..4分 (Ⅱ)h(x)?f(x)?g(x)?x?alnx?1?a,其定义域为(0,??). xx2?ax?(1?a)(x?1)[x?(1?a)]?又h?(x)?. ..6分

x2x2由a?0可得1?a?0,在x?(0,1?a)上h(x)?0,在x?(1?a,??)上h(x)?0, 所以h(x)的递减区间为(0,1?a);递增区间为(1?a,??). .. 7分 (Ⅲ)若在[1,e]上存在一点x0,使得f(x0)?g(x0)成立,

即在[1,e]上存在一点x0,使得h(x0)?0.即h(x)在[1,e]上的最小值小于零. 8分 ①当1?a?e,即a?e?1时,由(II)可知h(x)在[1,e]上单调递减. 故h(x)在[1,e]上的最小值为h(e),由h(e)?e???1?a?a?0, ee2?1e2?1e2?1可得a?. 因为; ?e?1.所以a?e?1e?1e?1②当1?1?a?e,即0?a?e?1时,

由(II)可知h(x)在(1,1+a)上单调递减,在(1?a,e)上单调递增.

h(x)在[1,e]上最小值为h(1?a)?2+a?aln(1?a). 11分

因为0?ln(1?a)?1,所以0?aln(1?a)?a.

?2+a?aln(1?a)?2,即h(1?a)?2不满足题意,舍去. 12分

e2?1综上所述a?(,??). 13分

e?1