解：（1） 利用中心对称性质，画出梯形OABC． 2222222222222222 1分

∵A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，

∴A（0，4），B（6，4），C（8，0） 2222222222222222222 3分 （写错一个点的坐标扣1分）

（2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为y?ax2?bx?c， ∵抛物线过点A（0，4），

∴c?4．则抛物线关系式为y?ax2?bx?4． 2222222222222 4分 将B（6，4）， C（8，0）两点坐标代入关系式，得

?36a?6b?4?4， 222222222222222222222222222 5分 ??64a?8b?4?0．1?a??，??4解得? 2222222222222222222222222222 6分 ?b?3．??2123所求抛物线关系式为：y??x?x?4． 222222222222222 7分

42（3）∵OA=4，OC=8，∴AF=4－m，OE=8－m． 222222222222222 8分

∴S四边形EFGB?S梯形ABCO?S△AGF?S△EOF?S△BEC ? ?1111OA（AB+OC）?AF2AG?OE2OF?CE2OA

22221111?4?（6?8）?m(4?m)?m(8?m)??4m 22222 ?m?8m?28 （ 0＜m＜4） 2222222222222 10分

∵S?(m?4)?12． ∴当m?4时，S的取最小值．

又∵0＜m＜4，∴不存在m值，使S的取得最小值． 222222222222 12分

y（4）当m??2?26时，GB=GF，当m?2时，BE=BG． 22222222222 14分

2

12.（湖南益阳）20.如图9，在平面直角坐标系中，已

知A、B、C三点的坐标分别为A（－2，0），B（6，0），C（0，3）.

(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式； (2)过Ｃ点作CD平行于x轴交抛物线于点D，写出D点的坐标，并求AD、BC的交点E的坐标； (3)若抛物线的顶点为Ｐ，连结ＰC、ＰD，判断四边形CEDP的形状，并说明理由.

PCEA?1D1oB1x解：⑴ 由于抛物线经过点C(0,3)，可设抛物线的解析式为y?ax?bx?3(a?0)，则

21?a???4a?2b?3?0?， 解得?4 ??36a?6b?3?0??b?112∴抛物线的解析式为y??x?x?3 ???????????4分

4⑵ D的坐标为D(4,3) ???????????5分

33

直线AD的解析式为y?11x?1 直线BC的解析式为y??x?3 221?y?x?1??2 由?

?y??1x?3?2?求得交点E的坐标为(2,2) ???????????8分 ⑶ 连结PE交CD于F，P的坐标为(2,4)

又∵

E(2,2)，C(0,3),D(4,3)

∴PF?EF?1,CF?FD?2，且CD?PE

∴四边形CEDP是菱形 ???????????12分

B(3,0)，13.（江苏宿迁）28．（本题满分12分）已知抛物线y?x2?bx?c交x轴于A(1,0)、

交y轴于点C，其顶点为D．

（1）求b、c的值并写出抛物线的对称轴； （2）连接BC，过点O作直线OE?BC交抛物线的对称轴于点E．求证：四边形ODBE是等腰梯形； （3）问Q抛物线上是否存在点Q，使得△OBQ的面积等于四边形ODBE的面积的存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

y E CC

E Q2 Q1 F

ABOA xMOBxQ3 DD （第28题） （第28题2）

解：（1）求出：b??4，c?3，抛物线的对称轴为：x=2 ??????3分

y1？若3 (2) 抛物线的解析式为y?x?4x?3，易得C点坐标为（0，3），D点坐标为（2，-1） 设抛物线的对称轴DE交x轴于点F，易得F点坐标为（2，0），连接OD，DB，BE ∵?OBC是等腰直角三角形，?DFB也是等腰直角三角形，E点坐标为（2，2）， ∴∠BOE= ∠OBD=45 ∴OE∥BD

∴四边形ODBE是梯形 ??????5分 在Rt?ODF和Rt?EBF中，

OD=OF2?DF2?22?12?5 ，BE=EF2?FB2?22?12?5 ∴OD= BE

∴四边形ODBE是等腰梯形 ??????7分

34

?2(3) 存在， ??????8分

由题意得：S四边形ODBE?设点Q坐标为（x，y）， 由题意得：S三角形OBQ?∴y??1

当y=1时，即x?4x?3?1，∴ x1?2?2， x2?2?2，

∴Q点坐标为（2+2，1）或(2-2，1) ??????11分 当y=-1时，即x?4x?3??1， ∴x=2， ∴Q点坐标为（2，-1）

综上所述，抛物线上存在三点Q1（2+2，1），Q2 (2-2，1) ，Q3（2，-1） 使得S三角形OBQ=

14.（山东青岛）24．（本小题满分12分）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = 8 cm，BC = 6 cm，EF = 9 cm．

如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？

2

（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．

（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．（图（3）供同学们做题使用）

A A A

D D P Q B B F F C E C （E ） B C

图（1） 图（2）

图（3）

解：（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，

∴AP = AQ.

∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC = 180°，

∴∠EQC = 45°.

∴∠DEF =∠EQC. A ∴CE = CQ.

由题意知：CE = t，BP =2 t， D ∴CQ = t. P ∴AQ = 8－t. Q 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB = 10 cm .

B M E C F 则AP = 10－2 t.

图（2） ∴10－2 t = 8－t. 解得：t = 2.

答：当t = 2 s时，点A在线段PQ的垂直平分线上. 22222 4分

（2）过P作PM?BE，交BE于M，

∴?BMP?90?.

35

22119OB?DE??3?3? ??????9分 222131193OB?y?y=S四边形ODBE??? 2233221S四边形ODBE． ??????12分 3在Rt△ABC和Rt△BPM中，sinB? ∴

ACPM， ?ABBPPM88? . ∴PM = t. 2t105 ∵BC = 6 cm，CE = t， ∴ BE = 6－t.

11118 ∴y = S△ABC－S△BPE =BC?AC－BE?PM= ?6?8－??6?t??t

222254244842=t2?t?24 = ?t?3??. 55554∵a??0，∴抛物线开口向上.

584∴当t = 3时，y最小=.

5842

答：当t = 3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为cm????8分

5 （3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上.

过P作PN?AC，交AC于N， ∴?ANP??ACB??PNQ?90?.

A ∵?PAN??BAC，∴△PAN ∽△BAC.

PNAPAN∴. ??D BCABACPN10?2tAN∴. ??P N Q 610868B F E C ∴PN?6?t，AN?8?t. 55图（3）

∵NQ = AQ－AN，

83∴NQ = 8－t－(8?t) = t．

55∵∠ACB = 90°，B、C（E）、F在同一条直线上， ∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ. ∵∠FQC = ∠PQN， ∴△QCF∽△QNP .

636?ttPNNQ55??∴ . ∴ . FCCQ9?tt66?t5?3 ∵0?t???? ∴

9?t5解得：t = 1.

答：当t = 1s，点P、Q、F三点在同一条直线上. ?????? 12分

15.（山东威海）25.（12分） （1）探究新知：

①如图，已知AD∥BC，AD＝BC，点M，N是直线CD上任意两点． 求证：△ABM与△ABN的面积相等．

②如图，已知AD∥BE，AD＝BE，AB∥CD∥EF，点M是直线CD上任一点，点G是直线

EF上任一点．试判断△ABM与△ABG的面积是否相等，并说明理由． C M D

M

D

N

C

B 图 ①

A B A 36

F

G 图 ②

E