（2）结论应用：
2y?ax?bx?c的顶点为C（1，4）如图③，抛物线，交x轴于点A（3，0），交y轴2y?ax?bx?c上是否存在除点C以外的点E，于点D．试探究在抛物线使得△ADE与△ACD的面积相等？ 若存在，请求出此时点E的坐标，若不存在，请说明理由．
﹙友情提示：解答本问题过程中，可以直接使用“探究新知”中的结论．﹚ B O A x B O A x y D C y D C 图 ③ 备用图
﹙1﹚①证明：分别过点M，N作 ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为点E，F． ∵ AD∥BC，AD＝BC， D N C M ∴ 四边形ABCD为平行四边形． ∴ AB∥CD． ∴ ME= NF．
11E A F B AB?MEAB?NF 图 ① ∵S△ABM＝2，S△ABN＝2，
∴ S△ABM＝ S△ABN． ??????????????????????????1分
②相等．理由如下：分别过点D，E作DH⊥AB，EK⊥AB，垂足分别为H，K． 则∠DHA=∠EKB=90°． M D C ∵ AD∥BE， ∴ ∠DAH=∠EBK．
K ∵ AD＝BE，
B A H ∴ △DAH≌△EBK．
∴ DH=EK． ???????????2分
∵ CD∥AB∥EF，
F G E 11图 ② AB?DHAB?EK
∴S△ABM＝2，S△ABG＝2，
∴ S△ABM＝ S△ABG. ?????????????????????????3分
﹙2﹚答：存在． ????????????????????????????4分
2y?a(x?1)?4. 解：因为抛物线的顶点坐标是C(1，4)，所以，可设抛物线的表达式为
又因为抛物线经过点A(3，0)，将其坐标代入上式，得0?a?3?1??4，解得a??1.
22∴ 该抛物线的表达式为y??(x?1)?4，即y??x?2x?3． ?????????5分
2∴ D点坐标为（0，3）．
设直线AD的表达式为y?kx?3，代入点A的坐标，得0?3k?3，解得k??1. ∴ 直线AD的表达式为y??x?3．
过C点作CG⊥x轴，垂足为G，交AD于点H．则H点的纵坐标为?1?3?2．
∴ CH＝CG－HG＝4－2＝2． ??????????????????????6分
2设点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为?m?2m?3．
过E点作EF⊥x轴，垂足为F，交AD于点P，则点P的纵坐标为3?m，EF∥CG． 由﹙1﹚可知：若EP＝CH，则△ADE与△ADC的面积相等． y C ①若E点在直线AD的上方﹙如图③-1﹚， 2 E 则PF=3?m，EF＝?m?2m?3． D 37
H P B O G F A x 图 ③-1 22∴ EP＝EF－PF＝?m?2m?3?(3?m)=?m?3m．
∴ ?m?3m?2．
解得m1?2，m2?1． ???????????7分
当m?2时，PF=3－2＝1，EF=1+2＝3． ∴ E点坐标为（2，3）．
同理 当m=1时，E点坐标为（1，4），与C点重合． ????????????8分 ②若E点在直线AD的下方﹙如图③－2,③－3﹚，
22PE?(3?m)?(?m?2m?3)?m?3m． ?????????????????9分 则
∴m?3m?2．解得当m?m?22m3?3?173?17m4?22，． ????????????10分
3?173?171?173??2??222时，E点的纵坐标为；
3?173?17?1?173??2?222当时，E点的纵坐标为．
∴ 在抛物线上存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等，E点的坐标为
E2(
3?171?173?17?1?17，?)E3(，)2222E1（2，3）；；． ??????12分
﹙其他解法可酌情处理﹚
y y C C P E D H D H F G A B O B F O G A
x 2 图③－2 图③－3 P E x 216.（浙江绍兴）24.如图,设抛物线C1:y?a?x?1??5, C2:y??a?x?1??5,C1与C2
的交点为A, B,点A的坐标是(2,4),点B的横坐标是－2. （1）求a的值及点B的坐标；
（2）点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,
在DH的右侧作正三角形DHG. 记过C2顶点Ｍ的 直线为l,且l与x轴交于点N.
① 若l过△DHG的顶点G,点D的坐标为
(1, 2)，求点N的横坐标； ② 若l与△DHG的边DG相交,求点N的横 坐标的取值范围.
解：（1）∵ 点A(2,4)在抛物线C1上，∴ 把点A坐标代入y?a?x?1??5得 a=1.
2第24题图
∴ 抛物线C1的解析式为y?x2?2x?4,
38
设B(－2,b)， ∴ b＝－4, ∴ B(－2,－4) . （2）①如图1，
∵ M(1, 5)，D(1, 2), 且DH⊥x轴，∴ 点M在DH上，MH=5. 过点G作GE⊥DH,垂足为E,
由△DHG是正三角形,可得EG=3, EH=1， ∴ ME＝4. 设N ( x, 0 ), 则 NH＝x－1,
MEEG?, MHHN5433?1, ∴ ?, ∴ x?45x?153?1． ∴ 点N的横坐标为4由△MEG∽△MHN,得
② 当点Ｄ移到与点A重合时,如图2， 直线l与DG交于点G,此时点Ｎ的横坐标最大． 过点Ｇ,Ｍ作x轴的垂线,垂足分别为点Ｑ,F, 设Ｎ（x，0），
∵ A (2, 4), ∴ G (2?23, 2), ∴ NQ=x?2?23，ＮF =x?1, GQ=2, MF =5. ∵ △NGQ∽△NMF，
第24题图1
NQGQ?, NFMFx?2?232∴ ?,
x?15103?8∴ x?.
3∴
当点D移到与点B重合时,如图3， 直线l与DG交于点D,即点B, 此时点N的横坐标最小.
∵ B(－2, －4), ∴ H(－2, 0), D(－2, －4), 设N（x，0），
第24题图2
NHBH?， FNMFx?242?, ∴ x??. ∴
1?x532103?8∴ 点N横坐标的范围为 ?≤x≤.
33∵ △BHN∽△MFN， ∴
第24题图3
17.（山东济宁）23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，?1）的抛物线交
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y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧）. 已知A点坐标为（0，3）.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D， 如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，
yDAOBCxC两点之间，问：当点P运动到什么位置时，?PAC的
面积最大？并求出此时P点的坐标和?PAC的最大面积.
解：（1）设抛物线为y?a(x?4)2?1.
∵抛物线经过点A（0，3），∴3?a(0?4)2?1.∴a?∴抛物线为y?(第23题)
1. 411(x?4)2?1?x2?2x?3. ???????????3分 44 (2) 答：l与⊙C相交. ?????????????????????????4分
证明：当
1(x?4)2?1?0时，x1?2，x2?6. 422 ∴B为（2，0），C为（6，0）.∴AB?3?2?13. 设⊙C与BD相切于点E，连接CE，则?BEC?90???AOB. ∵?ABD?90?，∴?CBE?90???ABO.
又∵?BAO?90???ABO，∴?BAO??CBE.∴?AOB∽?BEC. ∴
CE6?28CEBC???2.??????????6分 .∴.∴CE?OBAB21313∵抛物线的对称轴l为x?4，∴C点到l的距离为2.
∴抛物线的对称轴l与⊙C相交. ?????????????????7分
(3) 解：如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q.
1x?3.???????????????8分 2121设P点的坐标为（m，m?2m?3），则Q点的坐标为（m，?m?3）.
42112123 ∴PQ??m?3?(m?2m?3)??m?m.
244211233272 ∵S?PAC?S?PAQ?S?PCQ??(?m?m)?6??(m?3)?,
24244可求出AC的解析式为y??40