2010年各地中考数学压轴题详解(精选21道)
1.如图所示,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为
(3,0),(0,1),点D是线段BC上的动点(与端点B、
C不重合),过点D作直线y=-
1x+b交折线OAB于2C O y D B 点E.
(1)记△ODE的面积为S,求S与b的函数关系式; (2)当点E在线段OA上时,若矩形OABC关于直线DE
的对称图形为四边形OA1B1C1,试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化,若不变,求出该重叠部分的面积;若改变,请说明理由.
E A x
【分析】(1)要表示出△ODE的面积,要分两种情况讨论,①如果点E在OA边上,只需求出这个三角形的底边OE长(E点横坐标)和高(D点纵坐标),代入三角形面积公式即可;②如果点E在AB边上,这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积;
(2)重叠部分是一个平行四边形,由于这个平行四边形上下边上的高不变,因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化.
【答案】(1)由题意得B(3,1).
3 25若直线经过点B(3,1)时,则b=
2若直线经过点A(3,0)时,则b=若直线经过点C(0,1)时,则b=1
若直线与折线OAB的交点在OA上时,即1<b≤
yy3,如图25-a, 2
DCEOBAxCDBE图1
OAx图2 此时E(2b,0)
∴S=
11OE·CO=32b31=b 2235<b<,如图2 22②若直线与折线OAB的交点在BA上时,即
此时E(3,b?3),D(2b-2,1) 2∴S=S矩-(S△OCD+S△OAE +S△DBE )
= 3-[
1151352(2b-1)×1+×(5-2b)2(?b)+33(b?)]=b?b 2222221
?b??∴S???5b?b2??21?b?32
35?b?227.(甘肃兰州)28.(本题满分11分)如图1,已知矩形ABCD的顶点A与点O重合,AD、
2y??x?bx?c经过坐标原点O和xAB分别在x轴、y轴上,且AD=2,AB=3;抛物线
轴上另一点E(4,0)
(1)当x取何值时,该抛物线的最大值是多少?
(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平
行移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示).
t?① 当
114时,判断点P是否在直线ME上,并说明理由;
② 以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5,若有可能,求出此时N点的坐标;若无可能,请说明理由.
图1 图2
第28题图
2y??x?bx?c经过坐标原点O(0,0)和点E(4,0) 解:(1)因抛物线
故可得c=0,b=4
所以抛物线的解析式为y??x?4x????????????????1分
2y???x?2??4y??x?4x由
22得当x=2时,该抛物线的最大值是4. ????????????????2分
(2)① 点P不在直线ME上. 已知M点的坐标为(2,4),E点的坐标为(4,0), 设直线ME的关系式为y=kx+b.
?4k?b?0?k??2??2k?b?4?于是得 ,解得?b?8
所以直线ME的关系式为y=-2x+8. ????????????????3分
t?由已知条件易得,当
11111111P(,)4时,OA=AP=4,44???????4分
∵ P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8.
2
∴ 当
t?114时,点P不在直线ME上. ??????????????5分
②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5 ∵ 点A在x轴的非负半轴上,且N在抛物线上, ∴ OA=AP=t.
∴ 点P,N的坐标分别为(t,t)、(t,-t+4t) ?????????????6分
∴ AN=-t+4t (0≤t≤3) ,
∴ AN-AP=(-t+4 t)- t=-t+3 t=t(3-t)≥0 , ∴ PN=-t+3 t ???????????????????????????????7分 (ⅰ)当PN=0,即t=0或t=3时,以点P,N,C,D为顶点的多边形是三角形,此三角形
11的高为AD,∴ S=2DC2AD=23332=3. (ⅱ)当PN≠0时,以点P,N,C,D为顶点的多边形是四边形
∵ PN∥CD,AD⊥CD,
11 2 2
∴ S=2(CD+PN)2AD=2[3+(-t+3 t)]32=-t+3 t+3???????8分 当-t+3 t+3=5时,解得t=1、2???????????????????9分 而1、2都在0≤t≤3范围内,故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5 综上所述,当t=1、2时,以点P,N,C,D为顶点的多边形面积为5, 当t=1时,此时N点的坐标(1,3)???????????????10分 当t=2时,此时N点的坐标(2,4)???????????????11分
说明:(ⅱ)中的关系式,当t=0和t=3时也适合.(故在阅卷时没有(ⅰ),只有(ⅱ)也可以,不扣分)
2
8.(江苏盐城)28.(本题满分12分)已知:函数y=ax+x+1的图象与x轴只有一个公共点. (1)求这个函数关系式;
2
(2)如图所示,设二次函数y=ax+x+1图象的顶点为B,与y轴的交点为A,P为图象..上的一点,若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B,求P点的坐标;
(3)在(2)中,若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M,试探索点M是否在抛物
2
线y=ax+x+1上,若在抛物线上,求出M点的坐标;若不在,请说明理由. y y
P
A C x B O
解:(1)当a = 0时,y = x+1,图象与x轴只有一个公共点???(1分)
1
当a≠0时,△=1- 4a=0,a = ,此时,图象与x轴只有一个公共点.
4
12
∴函数的解析式为:y=x+1 或`y= x+x+1??(3分)
4
3
2
2
2
2
2
2
M Q E B -2 1 A O 1 D x (2)设P为二次函数图象上的一点,过点P作PC⊥x 轴于点C.
2
∵y=ax+x+1 是二次函数,由(1)知该函数关系式为: 1
y= x2+x+1,则顶点为B(-2,0),图象与y轴的交点 4
坐标为A(0,1)???(4分)
∵以PB为直径的圆与直线AB相切于点B ∴PB⊥AB 则∠PBC=∠BAO ∴Rt△PCB∽Rt△BOA
∴PC?BC,故PC=2BC,????????????????????(5分)
OBAO设P点的坐标为(x,y),∵∠ABO是锐角,∠PBA是直角,∴∠PBO是钝角,∴x<-2 ∴BC=-2-x,PC=-4-2x,即y=-4-2x, P点的坐标为(x,-4-2x)
1212
∵点P在二次函数y= x+x+1的图象上,∴-4-2x= x+x+1???????(6分)
44
解之得:x1=-2,x2=-10
∵x<-2 ∴x=-10,∴P点的坐标为:(-10,16)?????????????(7分)
2
(3)点M不在抛物线y=ax+x+1 上?????????????????(8分) 由(2)知:C为圆与x 轴的另一交点,连接CM,CM与直线PB的交点为Q,过点M作
x轴的垂线,垂足为D,取CD的中点E,连接QE,则CM⊥PB,且CQ=MQ
1
∴QE∥MD,QE= MD,QE⊥CE
2
∵CM⊥PB,QE⊥CE PC⊥x 轴 ∴∠QCE=∠EQB=∠CPB
1
∴tan∠QCE= tan∠EQB= tan∠CPB = 2816
CE=2QE=232BE=4BE,又CB=8,故BE= ,QE= 55
1816
∴Q点的坐标为(- , ) 551432
可求得M点的坐标为( , )???????????????????(11分)
55
11421414432∵()+()+1 = ≠ 455255∴C点关于直线PB的对称点M不在抛物线y=ax+x+1 上????????(12分) (其它解法,仿此得分)
9.(浙江台州)24.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8.点P,Q都是斜边AB上的动点,点P从B 向A运动(不与点B重合),点Q从A向B运动,BP=AQ.点D,E分别是点A,B以Q,P为对称中心的对称点, HQ⊥AB于Q,交AC于点H.当点E到达顶点AB2
时,P,Q同时停止运动.设BP的长为x,△HDE的面积为y. (1)求证:△DHQ∽△ABC;
(2)求y关于x的函数解析式并求y的最大值; (3)当x为何值时,△HDE为等腰三角形?
PEDQA H C(第24题) 解:(1)∵A、D关于点Q成中心对称,HQ⊥AB,
∴?HQD??C=90°,HD=HA, ∴?HDQ??A,????????????????????????????3分 ∴△DHQ∽△ABC. ??????????????????????????1分
B4
PEDQBPDEQ