x2?xy?y2?r2，取正向。求极限limIa?r?

r?????x??解 作变换??y???2?u?v?2（观察发现或用线性代数里正交变换化二次型的方2?u?v?231法），曲线C变为uov平面上的椭圆?:u2?v2?r2（实现了简化积分曲线），

22也是取正向 …（2分）

而且x2?y2?u2?v2,ydx?xdy?vdu?udv（被积表达式没变，同样简单！），

vdu?udv Ia?r??? ……………………………………………………………… ?22a??u?v?（2分）

222rcos?,v?2rsin?,?:0?2?，则有vdu?udv??rd?， 3322?rd?2?2?22?1?a?d?3 … （3分） Ia?r?????raa?3??0?220?222222rcos??2rsin????cos??2sin???3??3?2?22d?令Ja??，则由于?cos2??2sin2??2，从而 a33?0?222?cos??2sin???3?0?Ja???。因此当a?1时limIa?r??0或a?1时limIa?r????………（2分）

曲线参数化u?r???r???2? 而a?1,J1??/2?20d?cos2??2sin2????/2?4?0d?2cos2??2sin2?3??

3?2?0dtan?1?tan2?3?2?01t?2?arctan121/31/3?t3dt0????23??0??3?…（3分）

?2??0,a?12?I1?r????3???2?。故所求极限为Ia?r?????,a?1 …………… （2分）

3??2?,a?1?11?L?2n的敛散性，若收敛，求其和。 七（满分14分）判断级数?n?1?n?1??n?2??1?an11,n?1,2,3,L 解 （1）记an?1??L?,un?2nn?1n?2????1?lnn1?0,n充分大时0?an?1??dx?1?lnn?n …………（3分） 因为limn??xn1n精选

11?L?n112n收敛…（2分）?3，而?3收敛，故?所以0?un?

n?1n?2n?1n?2???????n2n?1?n?12n11（2）记ak?1??L?,?k?1,2,3,L? ，则

2k111??L?nnnaka??a2kSn???????k?k?

k?2?k?1?k?1??k?2?k?1?k?1??k?2?k?1?k?1a??aa??a?aa??aa?=?1?1???2?2??L??n?1?n?1???n?n? ……………… （2分） 2334nn?1n?1n?2????????ana111=1??a2?a1???a3?a2??L? …………………（2分） a?a??nn?1?234n?1n?2aa11111111=?????L? ??n?1??n ………………………（2分）23243n?1nn?2nn?2na1?lnn1?lnn1因为0?an?1??dx?1?lnn，所以0?n?，从而lim?0，

n??n?2n?2n?2x1a故limn?0。 n??n?2因此S?limSn?1?0?0?1。（也可由此用定义推知级数的收敛性）……………

??1?n??（3分）

精选

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