式中：?——材料的线膨胀系数。
前面已述，实际梁截面的变形是服从平截面假定的，它的应变变化可表示为:
?a(y)??0??y 式中：?0—— y=0处的应变值；
?—— 单元梁段挠曲变形后的曲率。
（b）
式(a)、(b)的应变之差，即图1-43d中阴影部分的应变，是由纵向纤维之间的约束产生的，即温度自
应变??(y)，它可表示为：
??(y)??T(y)??a(y)??T(y)?(?0??y)
（c）
由此可得任意纤维层的自应力为
?自(y)?E??(y)?E[?T(y)?(?0??y)]
（1-56）
上式中的E为材料的弹性模量，由于自应力是自平衡状态的应力，可以利用截面上应力合力的总和为零及对截面中和轴的力矩之和为零两个条件求得?0和?两个未知量。
由?N?0，便有
N?E?E[??h??(y)?b(y)dy?E?[??T(y)?(?h0??y)]?b(y)dy （1-57）
?T(y)b(y)dy??0A?A?yc??]?0h由?M?0，便有
M?E?h??(y)?b(y)(y?yc)dy?E?[??T(y)?(?0??y)]?b(y)(y?yc)dy （1-58）
h?E[??T(y)b(y)(y?yc)dy??I]h其中：
A?I???hb(y)dyhb(y)y(y?yc)dyyc?1A?hyb(y)dy????? ???? （1-59）
联立求解式（1-57）和式（1-58），得到：
???0??I?hT(y)b(y)(y?yc)dyT(y)b(y)dy???yc??Ah???? ??? （1-60）
对于图1-39中的各种非线性温度梯度，均可应用式（1-60）的一般表达式分段进行积分，以求出?0和?值，最后代入到式（1-50）中，就可求得各纤维层的温度自应力，下面将举一个简单例子来阐明其应用。
[例1-7] T形截面梁的几何尺寸示于图1-43，试求在翼板内受5℃温度差的影响时，截面的?和?0值。
45
图1-44 受非线性温度梯度的T形截面梁
解：该截面的yc和I可以很容易地由式（1-59）求得，代入到式（1-60）得
???5(y?yc)dy?II0h1?2?5?Afh?h1h5?by?0?(?yc?y)?(?yc)?hI2I2?1?
h1h?b1?b??0?0?dy?5?dy???yc?A0Ah1?5?Afh?h15?b???h2?(?yc)?yc?AI2??b1?h10?(y?yc)dy??bh? （1-61）
??式中Af?b?h2，其余符号意义同前。
三、连续梁温度次内力计算
超静定结构温度次内力计算的有限元法参见第六篇第三章，以下介绍用力法求解连续梁温度次内力的基本方法。
1、等截面连续梁的温度次内力
以两跨连续梁为例，取两跨简支梁为基本结构，在中支点切口处的赘余力矩为M1T，如图1-45所示，于是可以列出力法方程为
?11M1T??1T?0
（1-62）
式中：?11——M1T?1时在赘余力矩方向上引起的相对转角；
?1T——因温度变化在赘余力矩方向上引起的相对转角。
图1-45 连续梁在非线性温度梯度作用下的挠曲变形
46
?1T的计算步骤如下：
①按式（1-60）分别计算AB跨和BC跨简支梁的挠曲线曲率?1和?2，当不计钢筋影响时， ?1??2??；②按《材料力学》公式分别计算该两跨在各自两个端点切线之间的夹角，即
?1?BA??M?2?EICMEIdx??dx????BACBdx??l1 dx??l2
B（∵ ??1??MEI ， ?为曲率半径）
2③由于连续梁是采用等截面的，故基本结构中每跨梁两端的转角对称且相等，各等于??1T??(，于是 （1-63）
?1??22)???2(l1?l2)
?1T取负值是因相对转角方向与所设赘余力矩M1T的方向相反。
2、变截面连续梁的次内力计算
求两跨变截面连续梁次内力的力法方程同式（1-56）。现在的问题是如何计算其中的常变位?11和载变位?1T。求解的方法有平面杆系有限元法，共轭梁法和纽玛克法等。本节仅介绍应用共轭梁法（又称力矩－面积法）的计算步骤。 （1）?11的计算步骤
①绘M?1的分布图M(x)，如图1-46b所示； ②绘曲率分布图（图1-46c）；
图1-46 变截面梁δ
11
的计算图式
③以曲率分布图作为虚荷载，用总和法计算B支点的虚反力RB1和RB2，此虚反力便是它们在中支点处的端转角；
④按下式计算?11，即
?11?RB1?RB2 （1-64）
（2）?1T的计算步骤
求解的步骤与求?11的基本相似，只需应用式（1-60）分别求全梁若干段截面的?(x)值来取代图1-46中的
M(x)EI(x)，所得到B支点的反力之和便是?1T。下面将通过一个简单例子来说明。
?5[例1-8] 变高度简支T梁、跨长10m，截面尺寸如图1-47所示，混凝土线膨胀系数??1?10，非
47
线性温度梯度同例1-7，即T=5℃均匀分布在翼板内，试求该梁在温度影响力作用下两端的转角。
图1-47 受非线性温度梯度作用时简支T梁的端转角计算
解：计算步骤如下：
① 将全梁等分为10段，每段长?S=1m，分别计算每个结点截面的几何特性yc、I、A（表1-5）；
简支T梁的几何特性汇总表 表1-5 NN 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 hi(m) 0.60 0.64 0.68 0.72 0.76 0.80 0.84 0.88 0.92 0.96 1.00 yc(m) 0.41429 0.44222 0.46973 0.49684 0.52359 0.55000 0.57610 0.60190 0.62744 0.65273 0.67778 I(×10-1m4) 0.068762 0.083442 0.10008 0.11878 0.13961 0.16267 0.18804 0.21580 0.24603 0.27881 0.31422 A(m2) 0.280 0.288 0.296 0.304 0.312 0.320 0.328 0.336 0.344 0.352 0.360 ?i(×10-5/m) 12.46470 11.71830 10.93950 10.36880 9.77079 9.22112 8.71623 8.25301 7.82669 7.43409 7.07212
②按式（1-55）计算各个截面因温度差产生的曲率?1（表1-5中的末栏）； ③将?i?S（本例?S?1）值代入图1-46b的计算图式中得： ?A?RA?5.1533?10?4?4rad；?B?RB?4.2484?10rad，按平面杆系有限元法程序的计算结果为：
?A?5.138?10?4?4rad；?B?4.251?10rad
注意：?A为反时针转动；?B为顺时针转动。
3、连续梁内的总温度应力
当解力法方程求得赘余力矩M1T（x）之后，便可得到全梁各个截面的温度次内力M次，再应用《材料
力学》中的公式可以得到截面上所承受的温度次应力为
M(x)?y?次=次 （1-65）
I48