7-13

【思路分析】直角三角形两锐角互余；三角形内角和180°；三角形的一个外角等于和它不相邻两内角和.求角度，联系各角，这一题不难解出，注意到：∠B+∠F=90°则有∠B=59°，∠ACF=∠A+∠B=115°.

解析：因为FD⊥AB，所以∠B+∠F=90°. 因为∠ACF=∠A+∠B， 所以∠ACF=∠A+90°-∠F=50°+90°-31°=115°

2、已知，如图7-14,△ABC中，三条高AD、BE、CF相交于点O．若∠BAC＝60°，

求∠BOC的度数．

7-14

答案：120°；

类型之五、多边形内角和与外角和

例9、如果多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍还多30°，求这个多边形的内角和及对角线的总条数．

【思路分析】由已知条件设出外角的度数，则与之相邻的内角的度数为4x+30°，而它们是互为邻补角，于是，可以构造方程。 解：设外角为x度，则内角为（4x+30°）

因为每一个内角与它的外角互为邻补角 所以：x+(4x+30°)=180° x=30°

因为多边形的外角和为360°

所以多边形的边数为360°÷30°=12

这个多边形的内角和为（12-2）×180°=1800°因为12边形从任意顶点出发均可以画出9条对角线。

所以对角线的总条数为：

×9×12=54

这个多边形的对角线的总条数为 ×12×（12-3）=54

9

【点评】 方程思想是解决此类问题的贯用方法。 变式题

1、已知多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的2倍，求此多边形的边数与内角和。

【思路分析】 设出这个多边形的边数是n，则由于从这个多边形的一个顶点出发的对角线共有

条，可得方程。

解：设此多边形的边数是n，则从这个多边形的一个顶点出发的对角线共有条，根据题意，得方程2（n－3）=n 解得 n=6 当

时，

故此多边形是六边形，其内角和是720°。

2、过多边形一个顶点的所有对角线把这个多边形分成5个三角形，则此多边形是___________边形。

【思路分析】设此多边形的边数是n，则从n边形的一个顶点可引角线，这

条对角线把n边形分成了（n－2）个三角形

条对

根据题意，得 n－2=5 解得 n=7

所以此多边形是七边形。

3、已知一个多边形的外角和等于内角和的三分之一，求这个多边形的边数。 【思路分析】设多边形的边数为n，则这个多边形的内角和是外角和是

，而

由题意，得

解之，得 n=8

答：这个多边形的边数是8。

例10、 如图7-15，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？

10

A 6B21F5C3ED4

7-15

【思路分析】可把问题转化为：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角．求：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．

关于外角问题我们马上就会联想到平角，这样我们就得到六边形的6个外角加上它相邻的内角的总和为6×180°．由于六边形的内角和为（6—2）×180°=720°．这样就可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°． 解：∵六边形的任何一个外角加上它相邻的内角和为180°．

∴六边形的六个外角加上各自相邻内角的总和为6×180°． 由于六边形的内角和为（6—2）×180°=720° ∴它的外角和为6×180°一720°=360°

【点评】解决内外角的问题，可以用平角来帮忙。 变式题

1、四边形的内角∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比为1：1：0.6：1，求它的四个内角的度数。

【思路分析】强调已知中的比怎么用！

解：∵∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比为1：1：0.6：1 ∴可设∠A=x，则∠B=∠D= x，∠C=0.6 x 又∵∠A+∠B+∠C+∠D=360° ∴x+ x+ 0.6x+ x=360° ∴x=100

∴∠A=∠B=∠D=100°∠C=100×0.6 =60°

2、在四边形ABCD中，已知∠A与∠C互补，∠B比∠D大15° 求∠B、∠D的度数。

【思路分析】用四边形的四个内角和为360°。

解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠A+∠C=180° ∴∠B+∠D=180°① 又∵∠B－∠D=15°②

由①、②得∠B=97.5°，∠D=82.5°

类型之五、综合运用

例 11、 一个六边形如图7-16.已知AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，求∠A＋∠C＋∠E的度数。

11

7-16

【思路分析】先观察图形，发现六边形的内角之间可能存在什么关系，设法用推理的方法予以说明；再结合已知平行线的性质并通过尝试添加辅助线(连结对角线)，找到解题的途径。 解：连结AD，如图7-16 因为AB∥DE， CD∥AF

所以∠1＝∠2，∠3＝∠4

所以∠1+∠3＝∠2+∠4即∠FAB＝∠CDE，同理∠B＝∠E，∠C＝∠F 因为∠FAB＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F=（6－2）×180°=720° 所以∠FAB＋∠C＋∠E= 1／2 ×720°=360°

【点评】借助于平行线，把多边形的问题转化为四边形的问题，是本题解题的有效途径。 变式：引导学生一题多解，把多边形的问题转化到三角形中去解决。可向两个方向分别延长AB，CD，EF三条边，构成△PQR。

PABQ2CD1FER

7-17

因为 CD∥AF，所以∠1=∠R,同理∠2=∠R 所以∠1＝∠2， 所以∠AFE=∠DCB

同理∠FAB＝∠CDE，∠ABC=∠DEF

因为∠FAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE＋∠DEF＋∠AFE=（6-2）×180°=720° 所以∠FAB＋∠BCD＋∠DEF= 1／2 ×720°=360°

例12、如图7-18，CD∥AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC，∠C=124°,∠E=80°,试求∠F的度数.

7-18

【思路分析】本题的思路与例11相仿。主要也是通过作辅助线，把六边形的问题转化为四边形的问题。

解：连接AD 在四边形ABCD中

∠DAB+∠B+∠C+∠CDA=360° 因为AB⊥BC，所以∠B=90° 又因为∠C=124°

12