第二节 系统结构模型化技术 一、系统结构模型化基础
(一)结构分析的概念和意义
任何系统都是由两个以上有机联系、相互作用的要素所组成的，具有特定功能与结构的整体。结构即组成系统诸要素之间相互关联的方式。包括现代企业在内的大规模复杂系统具有要素及其层次众多、结构复杂和社会性突出等特点。在研究和解决这类系统问题时，往往要通过建立系统的结构模型，进行系统的结构分析，以求得对问题全面和本质的认识。
结构模型是定性表示系统构成要素以及它们之间存在着的本质上相互依赖、相互制约和关联情况的模型。结构模型化即建立系统结构模型的过程。该过程注重表现系统要素之间相互作用的性质，是系统认识、准确把握复杂问题，并对问题建立数学模型、进行定量分析的基础。阶层性是大规模复杂系统的基本特性，在结构模型化过程中，对递阶结构的研究是一项重要工作。
结构分析是一个实现系统结构模型化并加以解释的过程。其具体内容包括：对系统目的--功能的认识；系统构成要素的选取；对要素间的联系及其层次关系的分析；系统整体结构的确定及其解释。系统结构模型化是结构分析的基本内容。
结构分析是系统分析的重要内容，是系统优化分析、设计与管理的基础。尤其是在分析与解决社会经济系统问题时，对系统结构的正确认识与描述更具有数学模型和定量分析所无法替代的作用。
(二)系统结构的基本表达方式
系统的要素及其关系形成系统的特定结构。在通常情况下，可采用集合、有向图和矩阵等三种相互对应的方式来表达系统的某种结构。 1、系统结构的集合表达
设系统由n(n≥2)个要素(S1，S2，?，Sn)所组成，其集合为S，则有： S={S1，S2，?，Sn}
系统的诸多要素有机地联系在一起，并且一般都是以两个要素之间的二元关系为基础的。所谓二元关系是根据系统的性质和研究的目的所约定的一种需要讨论的、存在于系统中的两个要素(Si、Sj)之间的关系Rij(简记为R)。通常有影响关系、因果关系、包含关系、隶属关系以及各种可以比较的关系(如大小、先后、
轻重、优劣等)。二元关系是结构分析中所要讨论的系统构成要素间的基本关系，一般有以下三种情形：
Si与Sj间有某种二元关系R，即SiRSj； Si与Sj间无某种二元关系R，即SiRSj；
?Sj。 Si与Sj间的某种二元关系R不明，即SiR在通常情况下，二元关系具有传递性，即：若SiRSj、SjRSk，则有SiRSk(Si、Sj、Sk为系统的任意构成要素)。传递性二元关系反映两个要素的间接联系，可记作R (t为传递次数)，如何将SiRSk记作SiRSk。
有时，对系统的任意构成要素Si和Sj来说，既有SiRSj，又有SjRSi，这种相互关联的二元关系叫强连接关系。具有强连接关系的各要素之间存在替换性。
以系统要素集合S及二元关系的概念为基础，为便于表达所有要素间的关联方式，我们把系统构成要素中满足其种二元关系R的要素Si、Sj的要素对(Si，Sj)的集合，称为S上的二元关系集合，记作Rb，即有： Rb={(Si,Sj)|Si、Sj∈S,SiRSj,i、j=1,2,?,n}
且在一般情况下，(Si,Sj)和(Sj,Si)表示不同的要素对。
这样，“要素Si和Sj之间是否具有某种二元关系R”，也就等价于“要素对(Si,Sj)是否属于S上的二元关系集合Rb”。
至此，我们就可以用系统的构成要素集合S和在S上确定的某种二元关系集合Rb来共同表示系统的某种基本结构。
例4—1某系统由七个要素(S1、S2、?S7)组成。经过两两判断认为：S2影响S1、S3影响S4、S4影响S5、S7影响S2、S4和S6相互影响。这样，该系统的基本结构可用要素集合S和二元关系集合Rb来表达，其中： S={S1,S2,S3,S4,S5,S6,S7}
Rb={(S2,S1),(S3,S4),(S4,S5),(S7,S2),(S4,S6),(S6,S4)}
2、系统结构的有向图表达 5 7 6 t
2
4 3 2 1 图4—4 例4—1有向图〖TS)〗
有向图(D)由节点和连接各节点的有向弧(箭线)组成，可用来表达系统的结构。具体方法是：用节点表示系统的各构成要素，用有向弧表示要素之间的二元关系。从节点i(Si)到j(Sj)的最小(少)的有向弧数称为D中节点间通路长度(路长)，也即要素Si与Sj间二元关系的传递次数。在有向图中，从某节点出发，沿着有向弧通过其它某些节点各一次可回到该节点时，在D中形成回路。呈强连接关系的要素节点间具有双向回路。
表达例4—1给出的系统要素及其二元关系的有向图如图4—4所示。其中S3到S5、S3到S6和S7到S1的路长均为2。另外，S4和S6间具有强连接关系，S4和S6相互到达，在其间形成双向回路。 3、系统结构的矩阵表达
(1)邻接矩阵
邻接矩阵(A)是表示系统要素间基本二元关系或直接联系情况的方阵。若A=(aij)n×n，则其定义式为：
aij= 1,SiRSj或(Si,Sj)∈Rb(Si对Sj有某种二元关系)
0,SiRSj或(Si,Sj)∈Rb(Si对Sj没有某种二元关系)
有了表达系统结构的集合(S,Rb)或有向图(D)，就可很容易地将A写出，反之亦然。与例4—1和图4—4对应的邻接矩阵如下： S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S1 ?0?S2 ?1S3 ?0S4 ?0A= ?S5 ?0S6 ?0S7 ??0?000000?000000??001000??000110? 000000??001000?100000??很明显，A中“1”的个数与例4—1中Rb所包含的要素对数目和图4—4中有向弧的条数相等，均为6。在邻接矩阵中，若有一列(如第j列)元素全为0，则Sj是系统的输入要素，如图4—4中的S3和S7；若有一行(如第i行)元素全为0，则Si是系统的输出要素，如图4—4中的S1和S5。 (2)可达矩阵
若在要素Si和Sj间存在着某种传递性二元关系，或在有向图上存在着由节点i至j的有向通路时，称Si是可以到达Sj的，或者说Sj是Si可以到达的。所谓可达矩阵(M)，就是表示系统要素之间任意次传递性二元关系或有向图上两个节点之间通过任意长的路径可以到达情况的方阵。若M=(mij)n×n，且在无回路条件下的最大路长或传递次数为r，即有0≤t≤r，则可达矩阵的定义式为：
mij= 1，SiRtSj (存在着i至j的路长最大为r的通路)
0,SiRtSj (不存在i至j的通路)
当t=1时，表示基本的二元关系，M即为A；当t=0时，表示Si自身到达，或SiRSi，也称反射性二元关系；当t≥2时，表示传递性二元关系。
矩阵A和M的元素均为“1”或“0”，是n×n阶0—1矩阵，且符合布尔代数的运算规则，即：0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=1,0×0=0,0×1=0,1×0=0,1×1=1。通过对邻接矩阵A的运算，可求出系统要素的可达矩阵M，其计算公式为： M=(A+I)r (4—1)
其中I为与A同阶次的单位矩阵(即其主对角线元素全为“1”，其余元素为“0”)，反映要素自身到达；最大传递次数(路长)r根据下式确定： (A+I)≠(A+I)≠(A+I)≠?≠(A+I)≠(A+I)=(A+I)=?=(A+I) (4—2) 以与例4—1和图4—4对应的邻接矩阵为例有： S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7
?1S1 ?1?S2 ?0S3 ? A+I= S4 ?0S5 ?0?S6 ?0S7 ??0000000?100001??011000??001110? 000100??001010?100001??2
3
r-1
r
r+1
n
其中主对角线上的“1”表示诸要素通过零步(自身)到达情况(单位矩阵I)，其余“1”表示要素间通过一步(直接)到达情况(邻接矩阵A)。
S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7
?1S1 ?1S2 ??0S3 ?(A+I)2=A2+A+I= S4 ?0S5 ?0?S6 ?0S7 ??????001001000000100000?0000??1`??????0??1110? 0100??1???10?0001???其中带圆圈的“1”表示要素间通过两步(间接)到达情况(矩阵A2)。按照前述布尔代数的运算规则，在原式(A+I)2的展开中利用了A+A=A的关系。 进一步计算发现：(A+I)3=(A+I)2。由(4—2)式即有r=2。 这样，根据(4—1)式，与例4—1和图4—4对应的可达矩阵为： S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7
?1S1 ?1S2 ??0S3 ?M=(A+I)2= S4 ?0S5 ?0?S6 ?0S7 ??1000000?100000??011110??001110? 000100??001110?100001?? (3)其它矩阵
在邻接矩阵和可达矩阵的基础上，还有其它表达系统结构并有助于实现系统结构模型化的矩阵形式，如缩减矩阵、骨架矩阵等。
①缩减矩阵
根据强连接要素的可替换性，在已有的可达矩阵M中，将具有强连接关系的一组要素看作一个要素，保留其中的某个代表要素，删除掉其余要素及其在M中的行和列，即得到该可达矩阵M的缩减矩阵M′。如原例可达矩阵的缩减矩阵为：
S1 S2 S3 S4 S5 S7 S1 ?1?S2 ?1S3 ?0S4 ?0M′= ?S5 ?0S7 ??1??0000010000001110110010000?????? ?????10001②骨架矩阵
对于给定系统，A的可达矩阵M是唯一的，但实现某一可达矩阵M的邻接矩阵A可以具有多个。我们把实现某一可达矩阵M、具有最小二元关系个数(“1”元素最少)的邻接矩阵叫M的最小实现二元关系矩阵，或称之为骨架矩阵，记作A′。
系统结构的三种基本表达方式相互对应，各有特色。用集合来表达系统结构概念清楚，在各种表达方式中处于基础地位；有向图形式较为直观、易于理解；矩阵形式便于通过逻辑运算，用数学方法对系统结构进行分析处理。以它们为基础和工具，通过采用各种技术，可实现复杂系统结构的模型化。 (三)常用系统结构模型化技术
系统结构模型化技术是以各种创造性技术为基础的系统整体结构的决定技术。它们通过探寻系统构成要素、定义要素间关联的意义、给出要素间以二元关系为基础的具体关系，并且将其整理成图、矩阵等较为直观、易于理解和便于处理的形式，逐步建立起复杂系统的结构模型。常用的系统结构模型化技术有：关联树法、解释结构模型化技术、系统动力学结构模型化技术等，其中解释结构模型化(ISM)技术是最基本和最具特色的系统结构模型化技术。
ISM技术是美国J·N·沃菲尔德教授于1973年作为分析复杂的社会经济系统结构问题的一种方法而开发的。其基本思想是：通过各种创造性技术，提取问题的构成要素，利用有向图、矩阵等工具和计算机技术，对要素及其相互关系等信息进行处理，最后用文字加以解释说明，明确问题的层次和整体结构，提高对问题的认识和理解程度。该技术由于具有不需高深的数学知识、模型直观且有启发性、可吸收各种有关人员参加等特点，因而广泛适用于认识和处理各类社会经济
系统的问题。ISM的基本工作原理如图4—5所示。 意识 SjRSj? 要素及其关系集合 推断 可达矩阵 分检 骨架矩阵 作图 模型 修正 解释结构（人） 算机 计解释 递阶结构模型 （多级递阶有向图） 分析报告 模型 图4—5 ISM工作原理图
由图4—5可知，实施ISM技术，首先是提出问题，组建ISM实施小组；接着采用集体创造性技术，搜集和初步整理问题的构成要素，并设定某种必须考虑的二元关系(如因果关系)，经小组成员及与其他有关人员的讨论，形成对问题初步认识的意识(构思)模型。在此基础上，实现意识模型的具体化、规范化、系统化和结构模型化，即进一步明确定义各要素，通过人机对话，判断各要素之间的二元关系情况(即SiRSj?)，形成某种形式的“信息库”；根据要素间关系的传递性，通过对邻接矩阵的计算或逻辑推断，得到可达矩阵；将可达矩阵进行分解、缩约和简化处理，得到反映系统递阶结构的骨架矩阵，据此绘制要素间多级递阶有向图，形成递阶结构模型；通过对要素的解释说明，建立起反映系统问题某种二元关系的解释结构模型。最后，将解释结构模型与人们已有的意识模型进行比较，如不相符合，一方面可对有关要素及其二元关系和解释结构模型的建立进行修正；更重要的是，人们通过对解释结构模型的研究和学习，可对原有的意识模型有所启发和修正。经过反馈、比较、修正、学习，最终得到一个令人满意、具有启发性和指导意义的结构分析结果。
通过对可达矩阵的处理，建立系统问题的递结构模型，这是ISM技术的核心
内容。根据问题规模和分析条件，可在掌握基本原理及其规范方法的基础上，采用多种手段、选择不同方法来完成此项工作。 二、建立递阶结构模型的规范方法
建立反映系统问题要素间层次关系的递阶结构模型，可在可达矩阵M的基础上进行，且一般要经过区域划分、级位划分、骨架矩阵提取和多级递阶有向图绘制等四个阶段。这是建立递阶结构模型的基本方法。现以例4—1所示问题为例说明。与图4—4对应的可达矩阵(其中将Si简记为i)为： 1 2 3 4 5 6 7
?11 ?12 ??03 ?M= 4 ?05 ?0?6 ?07 ??1000000?100000??011110??001110? 000100??001110?100001??
1、区域划分
区域划分即将系统的构成要素集合S，分割成关于给定二元关系R的相互独立的区域的过程。
为此，需要首先以可达矩阵M为基础，划分与要素Si(i=1,2,?,n)相关联的系统要素的类型，并找出在整个系统(所有要素集合S)中有明显特征的要素。有关要素集合的定义如下： (1)可达集R(Si)
系统要素Si的可达集是在可达矩阵或有向图中由Si可到达的诸要素所构成的集合，记为R(Si)。其定义式为：
R(Si)={Sj|Sj∈S,mij=1,j=1,2,?,n} i=1,2,?,n
如在给出的可达矩阵中有：R(S1)={S1},R(S2)={S1,S2}，R(S3)={S3,S4,S5,S6},R(S4)=R(S6)={S4,S5,S6},R(S5)={S5},R(S7)={S1,S2,S7}。
(2)先行集A(Si)
系统要素Si的先行集是在可达矩阵或有向图中可到达Si的诸系统要素所构成的集合，记为A(Si)。其定义式为：
A(Si)={Sj|Sj∈S,mji=1,j=1,2,?,n}i=1,2,?,n
如
在
给
出
的
可
达
矩
阵
中
有
：
A(S1)={S1,S2,S7},A(S2)={(S2,S7),A(S3)}={S3},A(S4)=A(S6)={S3,S4,S6},A(S5)={S3,S4,S5,S6},A(S7)={S7}。 (3)共同集C(Si)
系统要素Si的共同集是Si在可达集和先行集的共同部分，即交集，记为C(Si)。其定义式为：
C(Ｓi)={Sj|Ｓj∈S,mij=1, mij =1,j=1,2,,n} i=1,2，… ,n如：
C(S1)={S1},C(S2)={S2},C(S3)={S3},C(S4)=C(S6)={S4,S6},C(S5)={S5},C(S7)={S7}。
系统要素Si的可达集R(Si)、先行集A(Si)、共同集C(Si)之间的关系如图4—6所示。
(4)起始集B(S)和终止集E(S)
图4—6 可达集、先行集、共同集关系示意图
系统要素集合S的起始集是在S中只影响(到达)其他要素而不受其他要素影响(不被其他要素到达)的要素所构成的集合，记为B(S)。B(S)中的要素在有向图中只有箭线流出，而无箭线流入，是系统的输入要素。其定义式为：B(S)={Si|Si∈S,C(Si)=A(Si),i=1,2,?,n}。
如在与图4—4所对应的可达矩阵中，B(S)={S3,S7}。
R(Si) A(Sj) C(Sj) Sj 当Si为S的起始集(终止集)要素时，相当于使图4—6中的阴影部分C(Si)覆盖到了整个A(Si)(R(Si))区域。
这样，要区分系统要素集合S是否可分割，只要研究系统起始集B(S)中的要素及其可达集要素(或系统终止集E(S)中的要素及其先行集要素)能否分割(是否相对独立)就行了。利用起始集B(S)判断区域能否划分的规则如下： 在B(S)中任取两个要素bu、bv：
①如果R(bu)∩R(bv)≠Φ(Φ为空集)，则bu、bv及R(bu)、R(bv)中的要素属同一区域。若对所有u和v均有此结果(均不为空集)，则区域不可分；
②如果R(bu)∩R(bv)=Φ，则bu、bv及R(bu)、R(bv)中的要素不属同一区域，系统要素集合S至少可被划分为两个相对独立的区域。
利用终止集E(S)来判断区域能否划分，只要判定“A(eu)∩A(ev)”(eu、ev为E(S)中的任两个要素)是否为空集即可。
区域划分的结果可记为：∏(S)=P1,P2,?,Pk,?,Pm(其中Pk为第k个相对独立区域的要素集合)。经过区域划分后的可达矩阵为块对角矩阵(记作M(P))。 为对给出的与图4—4所对应的可达矩阵进行区域划分，可列出任一要素Si(简记作i,i=1,2,?，7)的可达集R(Si)、先行集A(Si)和共同集C(Si)，并据此写出系统要素集合的起始集B(S)，如表4—1所示。 Si 1 2 3 4 5 6 7 R(Si) 1 1,2 3,4,5,6 4,5,6 5 4,5,6 1,2,7 A(Si) 1,2,7 2,7 3 3,4,6 3,4,5,6 3,4,6 7 C(Si) 1 2 3 4,6 5 4,6 7 B(S) 3 7 表4—1可达集、先行集、共同集和起始集例表 因B(S)={S3,S7}
且有R(S3)∩R(S7)={S3,S4,S5,S6}∩{S1,S2,S7}=Φ
所以，S3及S4、S5、S6和S7及S1、S2分属两个相对独立的区域，即有：∏(S
)=P1,P2={S3,S4,S5,S6},{S1,S2,S7}。 这时的可达矩阵M变为如下的块对角矩阵： 3 4 5 6 1 2 7
3 ?1?4 ?0P1
5 ?06 ?0M(P)= P2
11111101011100?1 ??2 ?7 ??101111?????? 0??0?1??2、级位划分
区域内的级位划分，即确定某区域内各要素所处层次地位的过程。这是建立多级递阶结构模型的关键工作。
设P是由区域划分得到的某区域要素集合，若用L1、L2、?Ll表示从高到低的各级要素集合(其中l为最大级位数)，则级位划分的结果可写成：∏(P)=L1,L2,?,Ll。
某系统要素集合的最高级要素即该系统的终止集要素。级位划分的基本作法是：找出整个系统要素集合的最高级要素(终止集要素)后，可将它们去掉，再求剩余要素集合(形成部分图)的最高级要素，依次类推，直到确定出最低一级要素集合(即Ll)。
为此，令L0=Φ(最高级要素集合为L1，没有零级要素)，则有：
L1={Si|Si∈P-L0,C0(Si)=R0(Si),i=1,2,?,n} L2={Si|Si∈P-L0-L1,C1(Si)=R1(Si),i＜n＝
Lk={Si|Si∈P-L0-L1-?-Lk-1,Ck-1(Si)=Rk-1(Si),i＜n＝ (4—3) 式(4—3)中的Ck-1(Si)和Rk-1(Ｓi)是由集合P-L0-L1-?-Lk-1中的要素形成的子矩阵(部分图)求得的共同集和可达集。
经过级位划分后的可达矩阵变为区域块三角矩阵，记为M(L)。 如对原例中P1={S3,S4,S5,S6}进行级位划分的过程示于表4—2。 对该区域进行级位划分的结果为：
Π(P1)=L1,L2,L3={S5},{S4,S6},{S3}
同理可得对P2={S1,S2,S7}进行级位划分的结果为： Π(P2)=L1,L2,L3={S1},{S2},{S7} 表4—2 级位划分过程例表
要素集合 Si R(S) A(S) C(S) C(S)= R(S) P1-L0 3 4 5 6 P1-L0-L1 3,4 6 3,4,5,6 4,5,6 5 4,5,6 3,4,6 4,6 4,6 P1-L0-L1- L2 3 3 3 3,4,6 3,4,5,6 3,4,6 3 3,4,6 3,4,6 3 3 4,6 5 4,6 3 4,6 4,6 3 L3={S3} L2={S4,S6} L1 ={S5} Π(P1) 这时的可达矩阵为：
5 4 6 3 1 2 7
?1?15 L1 ?4 ?1L2 ?6 M(L)= L3 ?1?3 ?L1 ?1 L2 ?2
?L3
7
00011011011100101111?????? 0??0?1??3、提取骨架矩阵
提取骨架矩阵，是通过对可达矩阵M(L)的缩约和检出，建立起M(L)的最小实现矩阵，即骨架矩阵A′。这里的骨架矩阵，也即为M的最小实现多级递阶结构矩阵。对经过区域和级位划分后的可达矩阵M(L)的缩检共分三步，即：
第一步：检查各层次中的强连接要素，建立可达矩阵M(L)的缩减矩阵M′(L)。 如对原例M(L)中的强连接要素集合{S4，S6}作缩减处理(把S4作为代表要素，去掉S6)后的新的矩阵为：
5 4 3 1 2 7
?1?1??0M′(L)= ??L1 1 ?L2 2 ??L3 7 ?L1
L2 L3
5 4 3
00101110011010????? 0?0??1??
第二步：去掉M′(L)中已具有邻接二元关系的要素间的越级二元关系，得到经进一步简化后的新的矩阵M″(L)。
如在原例的M′(L)中，已有第二级要素(S4，S2)到第一级要素(S5，S1)和第三级要素(S3，S7)到第二级要素的邻接二元关系，即S4RS5、S2RS1和S3RS4、S7RS2，故可去掉第三级要素到第一级要素的越级二元关系“S3R2S5”和“S7 R2S1”，即将M′(L)中3→5和7→1的“1”改为“0”，得： 5 4 3 1 2 7
?0?1??0M″(L)= ?? 1 ? 2 ?? 7 ?
5 4 3
00001000010010????? 0?0??0??第三步：进一步去掉M″(L)中自身到达的二元关系，即减去单位矩阵，将M″(L)主对角线上的“1”全变为“0”，得到经简化后具有最少二元关系个数的骨架矩阵A′。如对原例有：
5 4 3 1 2 7
?0?1??0A′=M″(L)-I= ?? 1 ? 2 ?? 7 ?
5 4 3
00001000010010????? 0?0??0??
4、绘制多级递阶有向图D(A′)
根据骨架矩阵A′，绘制出多级递阶有向图D(A′)，即建立起了系统要素的递阶结构模型。绘图一般分为如下三步： 第一步：分区域从上到下逐级排列系统构成要素； S7 S3 图4—7 递阶结构模型例图
第二步：同级加入被删掉的与某要素(如原例中S4)有强连接关系的要素(如S6)，及表征它们相互关系的有向弧；
第三步：按A′所示的邻接二元关系，用级间有向弧连接成有向图D(A′)。 据此，建立起原例的递阶结构模型，如图4—7所示。
综上所述，以可达矩阵M为基础，以矩阵变换为主线的递阶结构模型的建立过程如图4—8所示。 区域
S2 S4 S6 S1 S5 第一级 第二级 第三级 级位 划分
M(L) 强连接要素缩减
剔除越 去掉自
划分 M
M(P)
级关系 身关系 绘图
M’(L) M”(L) A’ D(A’)
（块对角） （区域块三角）
（区域下三角）
图4—8递阶结构模型建立过程示意图 三、建立递阶结构模型的实用方法
按照规范方法所显示的递阶结构模型化基本原理，在系统结构并不十分复杂的情况下，建模工作可采用较为简便的方法来完成。其主要过程如下： 1、判定二元关系，建立可达矩阵及其缩减矩阵
在问题设定之后，首先由分析小组或分析人员个人寻找与问题有某种关系的要素，经集中后，根据要素个数绘制如图4—9所示的方格图，并在每行右端依次注上各要素的名称。在此基础上，通过两两比较，直观确定各要素之间的二元关系，并在两要素交汇处的方格内用符号V、A和X加以标识。其中V表示方格图中的行(或上位)要素直接影响到列(或下位)要素，A表示列要素对行要素有直接影响，X表示行列两要素相互影响(称之为强连接关系)。进而根据要素间二元关系的传递性，逻辑推断出要素间各次递推的二元关系，并用加括号的标识符表示。最后，再加入反映自身到达关系的单位矩阵，建立起系统要素的可达矩阵。 (A) A S7
图4—9 判定要素间关系用方格图
作为方法举例，现根据例4—1给出的系统结构分析问题，绘制出帮助建立可达矩阵的方格图如图4—9所示。
根据图4—9，并加入单位矩阵，可写出如下可达矩阵(其中将Si简记为i)： 1 2 3 4 5 6 7
1 ?12 ?3 ?0?M= 4 ?05 ?06 ?0?7 ? (V) X (A) S6 (V) V S5 V S4 S3 A S2 S1
?10100000000?00000??11110??01110? 00100??001110???1100001?2、对可达矩阵的缩减矩阵进行层次化处理
根据要素级位划分的思想，在具有强连接关系的要素(S4与S6)中，去除S6(即
去除可达矩阵中“6”所对应的行和列)，可得到缩减(可达)矩阵M′。在M′中按每行“1”元素的多少，由少到多顺次排列，调整M′的行和列，得到M′L；最后在M′L中，从左上角到右下角，依次分解出最大阶数的单位矩阵，并加注方框。每个方框表示一个层次。
对原例可达矩阵的缩减矩阵进次层次化处理的结果为： 1 5 2 4 7 3
1 ?1?2 0?3 ?1A= 4 ?0?5 ?16 ??0 ?00000?10000??01000??
10100?01010??10101??可见，该例中的要素分为三个层次。S1和S5属第一层次，S2、S4及S6属第二层次，S7、S3为第三层次。
事实上，只要掌握了要素级位划分的基本原理，就可以归结出各种对可达矩阵或其缩减矩阵进行层次化处理的简易方法。 3、根据M′L绘制多级递阶有向图
首先把所有要素按已有层次排列，然后按照M′L中两方框(单位矩阵)交汇处的“1”元素，画出表征不同层次要素间直接联系的有向弧，形成多级递阶有向图。 如根据上例中第二层到第一层间的S2RS1、S4RS5和第三层到第二层间的S7RS2、S3RS4，并补充进被缩约的S6，即可绘制出与图4—7相同的多级递阶有向图。
最后，可根据各要素的实际意义，将多级递阶有向图直接转化为解释结构模型。 这种建立阶结构模型的方法以规范方法为基础，简便、实用，有助于人们实现对多要素问题认识与分析的层次化、条理化和系统化。
思考与练习题
1、请简述结构分析在系统分析中的地位和作用。 2、请说明系统结构三种表达方式的特点并加以比较。 3、为什么说级位划分是建立多级递阶结构模型的关键工作? 4、试探索一种建立递阶结构模型的简便方法。
5、给定描述系统基本结构的有向图如(a)、(b)所示。要求： (1)写出系统要素集合S及S上的二元关系集合Rb；
(2)建立邻接矩阵A、可达矩阵M及缩减矩阵M′。 S1 S2
6
S5
1 5 2 3
S3
(a)
4 S4
(b)
6、已知下面的系统可达矩阵，分别用规范方法与实用方法建立其递阶结构模型： (1)
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦
1①?
?0②?③?0④??0⑤?0⑥?
0⑦ ??0?000101?100000??010110??101000? 000100??010110?000101??(2)
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
?1?0??1??0?0??0?0⑧ ???0①②③④⑤⑥⑦
1111111000100000101111100000111000000100000001100?0??0??0? ?0?1?1??1??7、试用ISM技术研究本专业各门主要课程之间的关系(假定二元关系为“支持”关系)，建立你认为比较合理的课程体系结构。