（5）对数函数

函数 名称 定义 对数函数 函数y?logax(a?0且a?1)叫做对数函数 a?1 0?a?1 y?logaxy图象 x? 1y 1x?O(1,0)xO y?logax (1,0) x 定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在(0,??)上是增函数 (0,??) R 图象过定点(1,0)，即当x?1时，y?0． 非奇非偶 在(0,??)上是减函数 logax?0(x?1)函数值的 变化情况 logax?0(x?1) logax?0(x?1)logax?0(0?x?1)logax?0(x?1)logax?0(0?x?1) 图象的影响 a变化对 (6)反函数的概念

在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高． 设函数y?f(x)的定义域为A，值域为C，从式子y?f(x)中解出x，得式子x??(y)．如果对于y在

C中的任何一个值，通过式子x??(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x??(y)表示x是y?1?1的函数，函数x??(y)叫做函数y?f(x)的反函数，记作x?f(y)，习惯上改写成y?f(x)．

（7）反函数的求法

?1①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式y?f(x)中反解出x?f(y)；

?1?1③将x?f(y)改写成y?f(x)，并注明反函数的定义域．

（8）反函数的性质

?1 ①原函数y?f(x)与反函数y?f(x)的图象关于直线y?x对称．

?1②函数y?f(x)的定义域、值域分别是其反函数y?f(x)的值域、定义域．

'?1③若P(a,b)在原函数y?f(x)的图象上，则P(b,a)在反函数y?f(x)的图象上．

④一般地，函数y?f(x)要有反函数则它必须为单调函数．

〖2.3〗幂函数

（1）幂函数的定义

? 一般地，函数y?x叫做幂函数，其中x为自变量，?是常数．

（2）幂函数的图象 （3）幂函数的性质

①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．

②过定点：所有的幂函数在(0,??)都有定义，并且图象都通过点(1,1)．

③单调性：如果??0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,??)上为增函数．如果??0，则幂函数的图象在

(0,??)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴．

④奇偶性：当?为奇数时，幂函数为奇函数，当?为偶数时，幂函数为偶函数．当??qpq（其中p,q互质，ppqp和q?Z），若p为奇数q为奇数时，则y?x是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则y?x是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则y?x是非奇非偶函数．

?⑤图象特征：幂函数y?x,x?(0,??)，当??1时，若0?x?1，其图象在直线y?x下方，若x?1，其图

qp象在直线y?x上方，当??1时，若0?x?1，其图象在直线y?x上方，若x?1，其图象在直线y?x下方．

〖补充知识〗二次函数

（1）二次函数解析式的三种形式

①一般式：f(x)?ax?bx?c(a?0)②顶点式：f(x)?a(x?h)?k(a?0)③两根式：

22f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0)（2）求二次函数解析式的方法

①已知三个点坐标时，宜用一般式．

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f(x)更方便．

（3）二次函数图象的性质

①二次函数f(x)?ax?bx?c(a?0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x??2b,顶点坐标是2ab4ac?b2(?,)． 2a4a②当a?0时，抛物线开口向上，函数在(??,?bbb时，]上递减，在[?,??)上递增，当x??2a2a2a4ac?b2bbbfmin(x)?；当a?0时，抛物线开口向下，函数在(??,?在[?当x??]上递增，,??)上递减，

4a2a2a2a4ac?b2时，fmax(x)?．

4a2③二次函数f(x)?ax?bx?c(a?0)当??b?4ac?0时，图象与x轴有两个交点

2M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2|?|x1?x2|??． |a|2（4）一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次

函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．

22 设一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的两实根为x1,x2，且x1?x2．令f(x)?ax?bx?c，从以下四个

方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：x??①k＜x1≤x2 ?

b ③判别式：? ④端点函数值符号． 2ayf(k)?0?ya?0x??b2ax2kx1Ox2xk?x1Oxx??b2af(k)?0a?0

②x1≤x2＜k ?

ya?0f(k)?0?yx??Ob2ax1Ox2kxx1a?0x2?kxbx??2af(k)?0

③x1＜k＜x2 ? af(k)＜0

ya?0y?f(k)?0x1Okx2xx1Okx2a?0x?f(k)?0

④k1＜x1≤x2＜k2 ?

y?f(k1)?0?a?0yx??f(k2)?0x2k2b2aOk1x1xOk1x1?x2?k2xx??b2a f(k1)?0a?0f(k2)?0 ⑤有且仅有一个根x（或x2）满足k1＜x（或x2）＜k2 ? f(k1)f(k2)?0，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=011

这两种情况是否也符合