频谱及功率谱的物理意义。

(3) 滤波器设计：要求信号经滤波器后保留有用信号。滤波器的结构及参数和所涉及到的采样频率取值根据滤波器在这里所起的作用、输入信号本身的特点所确定，因此这里不作规定。

滤波器设计好之后，要求测试它的频率特性并将频率特性曲线用波形图来表示，以验证是否符合要求。

(4) 信号抽取：所谓信号抽取也就是信号抽样率的降低。将低通滤波器输出信号作为原始信号，用抽取的方法分别为以M?2、M?4对原始信号进行抽取。

(5) 信号插值：将M?2、M?4抽取信号分别作为原始信号，用插值的方法，分别还原原始信号（滤波后的信号）。

(6) 计算x?t?、x1(t)、x2(t)、y?t?的均值、均方值、方差、自相关函数、频谱及功率谱密度。

(7) 对采样前后、插值前插值后信号进行比较。观察信号频谱的变化及周期延拓性。

(8) 讨论x?t?的自相关函数、功率谱密度与y?t?的自相关函数、功率谱密度之间的关系。

6.3 实验三 随机信号通过线性和非线性系统后的特性分析 6.3.1 实验目的

1、了解随机信号的均值、均方值、方差、自相关函数、互相关函数、概率密度、频谱及功率谱特性。

2、研究随机信号通过线性系统和非线性系统后的均值、均方值、方差、自相关函数、互相关函数、概率密度、频谱及功率谱有何变化，分析随机信号通过线性系统和非线性系统后的特性。

6.3.2 实验内容

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1 随机信号通过线性系统和非线性系统后的特性分析

一、 实验原理

(1) 随机信号的分析方法

在信号系统中，可以把信号分成两大类：确定信号和随机信号。确定信号具有一定的变化规律，而随机信号无一定的变化规律，需要用统计特性进行分析。在这里引入了随机过程的概念。所谓随机过程，就是随机变量的集合，每个随机变量都是随机过程的一个取样序列。随机过程可分为平稳的和非平稳的、遍历的和非遍历的。如果随机信号的统计特性不随时间的推移而变化，则随机过程是平稳的。如果一个平稳的随机过程它的任意一个样本都具有相同的统计特性，则随机过程是遍历的。下面讨论的随机过程都认为是平稳的遍历的随机过程，因此，可以取随机过程的一个样本来描述随机过程的统计特性。

随机过程的统计特性一般采用主要的几个平均统计特性函数描述，包括均值、均方值、方差、自相关函数、互相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度等。

① 随机过程的均值

均值E?x?t??表示集合平均值或数学期望值。基于随机过程的各态历经性，可用时间间隔T内的幅值平均值表示，即：

E[x(t)]??x(t)/N

t?0N?1均值表达了信号变化的中心趋势，或称之为直流分量。 ② 随机过程的均方值

信号x?t?的均方值Ex2?t?，或称为平均功率，其表达式为：

??E[(x(t)]??x2(t)/N

2t?0N?1均方值表示信号的强度，其正平方根，又称有效值，也是信号平均能量的一种表达。

③ 随机信号的方差 信号x?t?的方差定义为：

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???[x(t)?E[x(t)]]2/N

2t?0N?1?2称为均方差或标准差。 可以证明，?2??2??2 其中：?2描述了信号的波动量；?2 描述了信号的静态量，方差反映了信号绕均值的波动程度。

④ 随机过程的互相关函数

信号的相关性是指客观事物变化量之间的相依关系。对于平稳随机过程x?t?和y?t?在两个不同时刻t和t??时刻幅值的关联程度，可以用互相关函数表示。在离散情况下，信号x?n?和y?n?的互相关函数定义为：

1Rxy?n,m??Nm?0n?0??x?n?y?n?m?N?1N?1?,t?0,1,2,?,N?1。

⑤ 随机过程的频谱：

信号频谱分析是采用傅立叶变换将时域信号x?t?变换为频域信号X(f)，从另一个角度来了解信号的特征。时域信号x?t?的付氏变换为：

X?f??⑥ 随机过程的功率谱密度

????j2?ft??xtedt ?随机信号的功率谱密度是随机信号的各个样本在单位频带内的频谱分量消耗在一欧姆电阻上的平均功率的统计均值，是从频域描述随机信号的平均统计参量，表示x?t?的平均功率在频域上的分布。它只反映随机信号的振幅信息，而未反映相位信息。随机过程的功率谱密度为：

|XTi(?)|2G(x)?E[lim]T??2T???????

(2) 线性系统特性

系统的数学模型满足叠加原理。对于任意常数a和b，输入信号x1(t)和x2(t)，有

L[ax1(t)?bx2(t)]?aL[x1(t)]?bL[x2(t)]

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则称系统为线性系统，线性系统有下面的一些重要性质：叠加性、比例性、微分性、积分性、频率保持性等。

(3) 非线性系统特性

在一般电子设备中，除了线性电路之外，通常还包括一些非线性电路，例如检波器、限幅器、鉴频器等。非线性电路具有下述特点：

① 叠加原理已不适用，当信号与噪声共同通过非线性电路时，不能像线性电路那样将它们分开研究。

② 会发生频谱变换，其输出产生了输入信号中没有的新频率分量，例如输入信号的各次谐波。

二、 实验任务与要求

(1) 通过实验要求掌握线性系统、非线性系统基本特性，比较未通过系统的随机信号与通过系统后的随机信号的特性。自选MATLAB或C/C++仿真软件之一。实验系统框图如图6-3-1所示。

x1(t)滤波器 x(t)限幅器 y1(t)x2(t)平方律滤波器 y2(t) 图6-3-1 线性系统、非线性系统测试

(2) 输入信号x?t?、噪声n?t?的测试与分析

输入信号x(t)?sin?1t?sin?2t?sin?3t?n(t)，其中：?1、?2、?3为1KHz、2KHz、3KHz，如图6-3-2所示。

（a）输入信号时域波形图 （b）输入信号频域波形图

图6-3-2 x?t?输入信号的时域、频域波形图

噪声n?t?为高斯白噪声，其时域、频域波形图如图6-3-3所示。

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