11.6 实际流体的流动 1）斜面上稳定的层流

在实际流体的流动过程中必须考虑流体的粘滞性。各流动层之间的内摩擦力使实际流体的流动变成不可逆过程，也造成流动过程中能量的损耗。现在考虑平行斜面的稳定层流，如图10.6.1所示。设上平面的流速为v，它的流动平行于斜面，下平面与斜面接触流速为零，整个流动层的厚度为a，各流动层之间存在速度梯度。为了分析方便，在流体内沿流动层隔离出一个高度为dy、

长度为dl、单位宽度的薄片状流体元，如图中央的长方块所示。在稳定流动条件下此薄片以恒定速度u沿斜面向下流动。在流动过程中，该薄片状流体元一共受到三个力的作用。a)平行于斜面方向的压力，其大小为（以流速方向为正方向）

dpdppdy?(pdy?dy?dl)??dydldldl 。

b)粘滞力，薄片流体元上、下两面的剪应力，由牛顿粘滞力定律知其大小为

??dl?(?dl?

d?d?dydl)?dydldydy。

c)薄片状流体元受到的重力，其大小为rgdldy方向竖直向下，设重力与斜面法线

的夹角为q，则重力在沿斜面方向分量就是

dh?gsin?dldy???g()dldydl 。

式中dl是流体元沿斜面的长度，dh是流体元两端距地面的高度差。由于讨论的是稳定流动，此薄片状流体元沿斜面方向运动的加速度为零，其动力学方程就是

dpd?dh?dydl?dydl??g()dldy?0dydl dl，

将上式除以dydl，整理后得

d?d?(p??h)dl dy。

另一方面，利用牛顿粘滞性定律

???

dudy，

d?d2ud??2?(p??h)dydl 可得 dy。

式中(p+gh)与y无关只是沿斜面l的函数，这是因为流体元沿着y方向无运动。将上式对y积分一次后

dud??y(p??h)?Adl dy，

再积分一次就得到速度分布

12dAu?y(p??h)?y?B2?dl? 。

?B?0,??v1d?A??(p??h)a???a2dl

将其代回到解式最后得到流体内部速度分布

式中A与B都是积分常数，利用边界条件y=0时 u=0 及 y=a时u=v。可得

u?

v1dy?(p??h)(ay?y2)a2?dl 。

如果层流的宽度不是一个单位而是任意宽度上式仍然成立，这是因为流动层的速度与宽度无关可从方程中消除。从平面层流的速度分布函数可以看出，流体沿斜面稳定流动时其内部的速度分布是抛物线形的，这意味着流速最大的流动层并不在上表面而是在流体内部的某一层。将上式对y积分可以求出流体沿斜面流动的平均速度

1av1du??udy??(p??h)a2a0212?dl ，

所以沿斜面稳定流动过程中每米宽度的流量

va1dQ?u?a??(p??h)a3212?dl 。

2）圆管内稳定层流。

当流体在圆管内稳定流动时，由于流体的流动具有圆柱形对称性，故取一轴对称圆柱壳形的流体元作为研究对象，如图10.6.2所示。圆柱薄壳的半径为r，

壳的厚度为dr, 柱高为dl 。作用在流体元前后两个面上的压力差为（以流速方向为正方向）

dpdp2?rdrp?(2?rdrp?2?rdr?dl)??2?rdrdldldl。

流体元内外两边界上受到的粘滞力为

d2?r?dl??[2?r?dl??(2?rdl?)?dr]drd??2?(r?)?dl?dr。dr

而流体元受到的重力大小为2πrdrdlg，它在沿圆柱管轴线方向的分量为

dh?2?rdrdlsin????2?rdrdl?dl。

对稳定流动来说流体元的加速度为零，按牛顿第二定律流体元的动力学方程

是

?2?rdr。

dpdhddl??2?drdl?2?(?r)dldr?0dldldr

用2πrdrdl除上式并整理得

d1d(p??h)?(r?)?0rdr dl。

同样(p+gh)不是r的函数，故可直接将上式对r积分，得到

r2d(p??h)?(r?)?A?0 2dl。

du????dr， 式中A是积分常数，而粘滞阻力（因为随r增加速度u减小，所以

这里有一负号）将其代入上式整理后

durdA?(p??h)?2?dl?r， dr 把上式对r再积分一次就得到圆管内稳定层流的速度分布

r2dAu?(p??h)?lnr?B4?dl? 。

特别地，若流体在内半径为b，外半径为a的圆柱形套筒之间流动，则必定满足下列边界条件

r=a时u=0及r=b时u=0 由此可定出式中的积分常数A与B满足

a2?b2da?1A??()(p??h)(ln）4?dlb，

221da?bB??(p??h)[a2?lna]a4?dllnb 。

所以圆柱套筒内流体速度分布

1da2?b2a22u?(p??h)(a?r?ln)4udlln(ab)r。