2020年湖南省长沙市长、望、浏、宁四县（区、市）高

考数学模拟试卷（文科）（4月份）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知复数??=3+???2??(其中i为虚数单位)，则|??|=( )

10

A. 3√3 B. 3√2 C. 2√3 D. 2√2

2. 已知集合??=??，??={??|?2≤??≤2,??∈??}，??={?1,1}，则???(??∩??)=( )

A. (?1,1)

B. (?∞,?1)∪(?1,1)∪(1,+∞) C. (?∞,?2)∪(2,+∞)

D. (?∞,?2)∪(?1,0)∪(0,1)∪(2,+∞)

3. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”

诗中隐含着一个有趣的数学问题--“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为??2+??2≤1，若将军从点??(2,0)处出发，河岸线所在直线方程为??+??=3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为( ) A. √10?1 B. 2√2?1 C. 2√2 D. √10

√21

B，C所对的边分别为a，b，c，??=2，4. △??????的三个内角A，若??=120°，????????=7，

则△??????的面积等于( )

3

A. √2

B. 2√3

3 C. √4

D. √3

5. 已知直线m，n和平面??，?????，则“??//??”是“??//??”的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 函数??=tan(4?2)(1

x轴的交点，过点A的直线l与函数的图象交于B，C两点，?????? +????????? )?????????? =( ) 则(????

????

??

A. ?8 B. ?4 C. 4 D. 8

7. 阅读程序框图，如果输出的函数值在区间[?4,?2?]内，则输入的实数x的取值范围是

( )

1

1

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A. (?∞,?2] B. [?2,?1]

??

C. [?1,2] D. [2,+∞)

8. 函数??(??)=2??????(?????3)?(??>0)的部分图象如图所示，

则??(0)+??(12)=( )

5??

A. 2?√3 B. 2+√3

3 C. 1?√23 D. 1+√2

9. 已知??∈[0,2]，??∈[0,4]，定义在R上的函数??(??)满足

??(4)=1，??′(??)为??(??)的导函数，已知函数??=??′(??)的图象如图所示．若取两数a，b，则满足??(2??+??)<1的概率为( )

A. 8

10. 已知双曲线C：2?

????2

1

B. 3

??2??2

1

C. 2

1

D. 3

2

=1(??>0,??>0)的两条渐近线均与圆??2+??2?6??+5=0

相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则C的离心率为( )

6 A. √3

1

6 B. √2

5 C. 3√5

5 D. √2

11. 已知函数??(??)=3??3???+??+1有两个不同零点，且有一个零点恰为??(??)的极小值

点，则c的值为( )

A. 0

B. ?3

5

C. ?3

1

D. ?3或?3

51

12. 已知抛物线C：??2=4??的焦点为F，A是抛物线C上异于坐标原点的任意一点，

过点A的直线l交y轴的正半轴于点B，且A，B同在一个以F为圆心的圆上，另有直线??′//??，且??′与抛物线C相切于点D，则直线AD经过的定点的坐标是( ) A. (0,1) B. (0,2) C. (1,0) D. (2,0)

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二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

? ? 、? |=2，? 与? 13. 已知非零向量??且(??则????满足|??|? ??|=1，? +? ??)⊥? ??，??的夹角为______． 14. 若sin(??+4)=√2(????????+2????????)，则??????2??=______．

15. 已知数列{????}的前n项和为????，??1=1，当??≥2时，????+2?????1=??，则??2021的值

为______

16. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，

书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?7”(已知1丈为10尺)该锲体的三视图如图所示，则该锲体的体积为______(立方尺)． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17. 已知数列{????}满足??1=3，且??∈???时，????+1，????，?3成等差数列．

(1)求证：数列{????+3}为等比数列；

(2)求数列{????}的前n项和????．

????????为等边三角形，18. 如图，在四棱锥???????????中，底面????????为正方形，平面??????⊥

平面??????．

2

1

2

??

(1)证明：平面??????⊥平面????????；

(2)若????=2，Q为线段????的中点，求三棱锥?????????的体积．

19. 改革开放40年，我国经济取得飞速发展，城市汽车保有量在不断增加，人们的交

通安全意识也需要不断加强．为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识，某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查．随机抽取男女驾驶员各50人，

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进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示．规定得分在80分以上为交通安全意识强．

(Ⅰ)求a的值，并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率；

(Ⅱ)已知交通安全意识强的样本中男女比例为4：1，完成下列2×2列联表，并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关；

(Ⅲ)用分层抽样的方式从得分在50分以下的样本中抽取6人，再从6人中随机选取2人，对未来一年内的交通违章情况进行跟踪调查，求至少有1人得分低于40分的概率． 男性 女性 合计 安全意识强 安全意识不强 合计 ??(?????????)2

附：??2=(??+??)(??+??)(??+??)(??+??)，其中??=??+??+??+??． ??(??2≥??) k 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

20. 已知椭圆C：

??2??2

+??2=1(??>??>0)的两个焦点分别为??1(?√2,0)，??2(√2,0)，以

??2

椭圆短轴为直径的圆经过点??(1,0)． (1)求椭圆C的方程；

(2)过点M的直线l与椭圆C相交于A、B两点，设点??(3,2)，记直线AN，BN的斜率分别为??1，??2，问：??1+??2是否为定值？并证明你的结论．

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