1—2—2、求下列情况下，真空中带电面之间的电压。

(2)、无限长同轴圆柱面，半径分别为a和b（b?a），每单位长度上电荷：内柱为?而外柱为??。

解：同轴圆柱面的横截面如图所示，做一长为l半径为r（a?r?b）且与同轴圆柱面共轴的圆柱体。对此圆柱体的外表面应用高斯通量定理，得

?? ?D?dS??l

s?考虑到此问题中的电通量均为er即半径方向，所以电通量对圆柱体前后两个端面的积分为0，并且在圆柱侧面上电通量的大小相等，于是

2?lrD??l

??????即 D?er， E?er

2??0r2?r由此可得 U??ba??bE?dr??????ber?erdr?ln

a2??r2??0a0

1—2—3、高压同轴线的最佳尺寸设计——高压同轴圆柱电缆，外导体的内半径为2cm，内外导体间电介质的击穿场强为200kV/cm。内导体的半径为a，其值可以自由选定但有一最佳值。因为a太大，内外导体的间隙就变得很小，以至在给定的电压下，最大的E会超过介质的击穿场强。另一方面，由于

E的最大值Em总是在内导体的表面上，当a很小时，其表面的E必定很大。

试问a为何值时，该电缆能承受最大电压？并求此最大电压。

（击穿场强：当电场增大达到某一数值时，使得电介质中的束缚电荷能够

电磁场习题解答 第 1 页

脱离它的分子 而自由移动，这时电介质就丧失了它的绝缘性能，称为击穿。某种材料能安全地承受的最大电场强度就称为该材料的击穿强度）。

解：同轴电缆的横截面如图，设同轴电缆内导体每单位长度所带电荷的电量为?，则内外导体之间及内导表面上的电场强度分别为

E?而内外导体之间的电压为

U??Edr??ab??， Emax? 2??r2??a??bdr?ln

a2??r2??ab或 U?aEmaxln()

badUb?Emax[ln()??1]?0 daabb?1?0， a??0.736cm aeb55 Umax?aEmaxln?0.736?2?10?1.47?10(V)

a即 ln

1—3—3、两种介质分界面为平面，已知?1?4?0，?2?2?0，且分界面一侧的电场强度E1?100V/m，其方向与分界面的法线成450的角，求分界面另一侧的电场强度E2的值。

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解：E1t?100sin450?502，E1n?100cos450?502

D1n?4?0E1n?20?002 根据 E1t?E2t，D1n?D2n得

E2t?502，D2n?200?02， E2n?D2n?1002 2?022(502)2?(1002)2?5010(V/m)1—4—2、于是： E2?E2t?E2n?两平行导体平板，相距为d，板的尺寸远大于d，一板的电位为0，另一板的电位为V0，两板间充满电荷，电荷体密度与距离成正比，即?(x)??0x。试求两极板之间的电位分布（注：x?0处板的电位为0）。

解：电位满足的微分方程为

?0d2???x 2?0dx其通解为： ????03x?C1x?C2 6?0定解条件为：?x?0?0； ?x?d?V0 由?x?0?0得 C2?0 由?x?d?V0得 ?于是 ????03V?d?C1d?V0，即 C1?0?0d2 6?0d6?0?03V0?02x?(?d)x 6?0d6?01—4—3、写出下列静电场的边值问题：

（1）、电荷体密度为?1和?2（注：?1和?2为常数），半径分别为a与b的

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双层同心带电球体（如题1—4—3图（a））；

（2）、在两同心导体球壳间，左半部分和右半部分分别填充介电常数为?1与?2的均匀介质，内球壳带总电量为Q，外球壳接地（题1—4—3图b））； （3）、半径分别为a与b的两无限长空心同轴圆柱面导体，内圆柱表面上单位长度的电量为?，外圆柱面导体接地（题1—4—3图（c））。

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