《运筹学》习题集

第一章 线性规划

1．1 将下述线性规划问题化成标准形式 1) min z ＝ －3x1 ＋ 4x2 － 2x3 ＋ 5 x4

st.

4x1 － x2 ＋ 2x3 － x4 ＝ －2 x1 ＋ x2 － x3 ＋ 2 x4 ≤ 14 －2x1 ＋ 3x2 ＋ x3 － x4 ≥ 2 x1 ，x2 ，x3 ≥ 0，x4 无约束

2) min z ＝ 2x1 －2x2 ＋3x3

－ x1 ＋ x2 ＋ x3 ＝ 4 －2x1 ＋ x2 － x3 ≤ 6 x1≤0 ，x2 ≥ 0，x3无约束

st.

1．2

用图解法求解LP问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。

1) minz＝2x1＋3x2 4x1＋6x2≥6

st 2x1＋2x2≥4 x1，x2≥0

2) maxz＝3x1＋2x2 2x1＋x2≤2 st 3x1＋4x2≥12

x1，x2≥0

3) maxz＝3x1＋5x2 6x1＋10x2≤120 st 5≤x1≤10

3≤x2≤8

4) maxz＝5x1＋6x2 2x1－x2≥2

1．3 找出下述LP问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解 （1）minz＝5x1－2x2＋3x3＋2x4

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st －2x1＋3x2≤2 x1，x2≥0

x1＋2x2＋3x3＋4x4＝7 st 2x1＋2x2＋x3 ＋2x4＝3

x1，x2，x3，x4≥0

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1．4 分别用图解法与单纯形法求解下列LP问题，并对照指出最优解所对应的顶点。 1) maxz＝10x1＋5x2 3x1＋4x2≤9 st 5x1＋2x2≤8 x1，x2≥0

2) maxz＝2x1＋x2

3x1＋5x2≤15 st 6x1＋2x2≤24

x1，x2≥0

1．5 分别用大M法与两阶段法求解下列LP问题。 1) minz＝2x1＋3x2＋x3 x1＋4x2＋2x3≥8

st 3x1＋2x2 ≥6 x1，x2 ，x3≥0

2) max z ＝4x1＋5x2＋ x3

. 3x1＋2x2＋ x3≥18

St. 2x1＋ x2 ≤4

x1＋ x2－ x3＝5

3) maxz＝ 5x1＋3x2 +6x3 x1＋2x2 －x3 ≤ 18 st 2x1＋x2 －3 x3 ≤ 16 x1＋x2 －x3＝10 x1，x2 ，x3≥0

4)maxz?10x1?15x2?12x3?9?5x1?3x2?x3???5x1?6x2?15x3?15st.?x3?5?2x1?x2??x,x,x?0?123

1．6 求下表中a～l的值。 cj? CB 0 0 （a） 0 XB x4 x5 b 6 1 （a） x1 （b） -1 （a） （f） ［（g）］ 4 （h） 0 －1 x2 （c） 3 -1 2 （I） -7 - 2 -

2 x3 （d） （e） 2 -1 1 （j） 0 x4 1 0 0 1/2 1/2 （k） 0 x5 0 1 0 0 1 （l） ?j? x1 x5 ?j 《运筹学》习题集

1.7某班有男生30人，女生20人，周日去植树。根据经验，一天男生平均每人挖坑20个，或栽树30棵，或给25棵树浇水；女生平均每人挖坑10个，或栽树20棵，或给15棵树浇水。问应怎样安排，才能使植树（包括挖坑、栽树、浇水）最多？请建立此问题的线性规划模型，不必求解。

1.8某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。已知各种牌号糖果中A、B、C含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号糖果的单位加工费及售价如下表所示。

问该厂每月应生产这三种牌号糖果各多少千克，使该厂获利最大？试建立此问题的线性规划的数学模型。

甲 乙 丙 原料成本(元/千克) 每月限量（千克）

A ≥60％ ≥15％ 2.00 2000 B 1.50 2500 C ≤20％ ≤60％ ≤50％ 1.00 1200 加工费（元/千克） 0.50 0.40 0.30 售 价 3.40 2.85 2.25

1.9某商店制定7－12月进货售货计划，已知商店仓库容量不得超过500件，6月底已存货200件，以后每月初进货一次，假设各月份此商品买进售出单价如下表所示，问各月进货售货各多少，才能使总收入最多？请建立此问题的线性规划模型。 月 份 7 8 9 10 11 12 买进单价 28 24 25 27 23 23 售出单价 29 24 26 28 22 25

1.10某厂接到生产A、B两种产品的合同，产品A需200件，产品B需300件。这两种产品的生产都经过毛坯制造与机械加工两个工艺阶段。在毛坯制造阶段，产品A每件需要2小时，产品B每件需要4小时。机械加工阶段又分粗加工和精加工两道工序，每件产品A需粗加工4小时，精加工10小时；每件产品B需粗加工7小时，精加工12小时。若毛坯生产阶段能力为1700小时，粗加工设备拥有能力为1000小时，精加工设备拥有能力为3000小时。又加工费用在毛坯、粗加工、精加工时分别为每小时3元、3元、2元。此外在粗加工阶段允许设备可进行500小时的加班生产，但加班生产时间内每小时增加额外成本4.,5元。试根据以上资料，为该厂制订一个成本最低的生产计划。

1.11某公司有三项工作需分别招收技工和力工来完成。第一项工作可由一个技工单独完成，或由一个技工和两个力工组成的小组来完成。第二项工作可由一个技工或一个力工单独去完成。第三项工作可由五个力工组成的小组完成，或由一个技工领着三个力工来完成。已知技工和力工每周工资分别为100元和80元，他们每周都工作48小时，但他们每人实际的有效工作小时数分别为42和36。为完成这三项工作任务，该公司需要每周总有效工作小时数为：第一项工作10000小时。第二项工作20000小时，第三项工作30000小时。又能招收到的工人数为技工不超过400人，力工不超过800人。试建立数学模型，确定招收技工和力工各多少人。使总的工资支出为最少(

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第二章 对偶与灵敏度分析

2．1 写出以下线性规划问题的DLP 1) minz＝2x1＋2x2＋4x3

st

x1＋3x2＋4x3 ≥2 2x1＋ x2＋3x3 ≤3 x1＋4x2＋3x3 ＝5 x1，x2≥0，x3无约束 x1＋2x2＋2x3 ＝5 －x1＋5x2－ x3 ≥3 4x1＋7x2＋3x3 ≤8 x1无约束，x2≥0，x3≤0

2) maxz＝5x1＋6x2＋3x3

st

3) maxz＝c1x1＋c2x2＋c3x3

st

a11x1＋a12x2＋a13x3 ≤b1

a21x1＋a22x2＋a23x3 ＝b2 a31x1＋a32x2＋a33x3 ≥b3 x1≥0，x2≤0，x3无约束

2．2 st

对于给出的LP：

minz＝2x1＋3x2＋5x3＋6x4 x1＋2x2＋3x3＋x4 ≥2 －2x1＋x2－x3＋3x4 ≤－3

xj≥0 （j=1,2,3,4） 1) 写出DLP；

2) 用图解法求解DLP；

3) 利用2）的结果及根据对偶性质写出原问题的最优解。

2．3 对于给出LP： maxz＝x1＋2x2＋x3

st

x1＋ x2－ x3 ≤2 x1－ x2＋ x3 ＝1 2x1＋ x2＋ x3 ≥2 x1≥0， x2≤0，x3无约束

1) 写出DLP；

2) 利用对偶问题性质证明原问题目标函数值Z≤1

2．4 已知LP： maxz＝x1＋x2

st

－x1＋ x2＋ x3 ≤2

－2x1＋ x2－ x3 ≤1 xj≥0

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试根据对偶问题性质证明上述线性问题目标函数值无界。

2．5 给出LP： maxz＝2x1＋4x2＋x3＋x4 x1＋ 3x2 ＋x4 ≤8

2x1＋ x2 ≤6 st. x2 ＋ x3＋ x4≤6

x1＋ x2 ＋ x3 ≤9 xj≥0

1) 写出DLP；

2) 已知原问题最优解X＝（2,2，4,0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。

2．6 用对偶单纯形法求解下列线性规划问题 1) minz＝4x1＋12x2＋18x3

st

x1 ＋3x3 ≥3

2 x2＋2x3 ≥5 xj≥0 (j=1,2,3)

2)minz?5x1?2x2?4x3?3x1?x2?2x3?4?st.?6x1?3x2?5x3?10?x,x,x?0?123

2．7 考虑如下线性规划问题

minz＝60x1＋40x2＋80x3 3x1＋2x2＋ x3 ≥2

st

4x1＋ x2＋3x3 ≥4

2x1＋2x2＋2x3 ≥3 xj≥0

1) 写出DLP；

2) 用对偶单纯形法求解原问题； 3) 用单纯形法求解其对偶问题； 4) 对比以上两题计算结果。

2．8 已知LP：maxz＝2x1－x2＋x3 x1＋ x2＋ x3≤6

st －x1＋2x2 ≤4 x1，x2，x3≥0

1) 用单纯形法求最优解

2) 分析当目标函数变为maxz＝2x1＋3x2＋x3时最优解的变化； 3) 分析第一个约束条件右端系数变为3时最优解的变化。

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2．9 给出线性规划问题 maxz＝2x1＋3x2＋x3 1/3x1＋1/3x2＋1/3x3≤1 st 1/3x1＋4/3x2＋7/3x3≤3 xj≥0

用单纯形法求解得最终单纯形表如下 cj? CB 2 3

XB x1 x2 B 1 2 2 x1 1 0 3 x2 0 1 1 x3 －1 2 0 x4 4 －1 －5 0 X5 －1 1 －1 －3 0 0 试分析下列各种条件下，最优解（基）的变化： ?j 1) 目标函数中变量x3的系数变为6；

2) 分别确定目标函数中变量x1和x2的系数C1、C2在什么范围内变动时最优解不变； 3) 约束条件的右端由 1 变为 2 ； 3 3

2.10 某厂生产甲、乙两种产品，需要A、B两种原料，生产消耗等参数如下表（表中的消耗系数为千克/件）。

产品原料 甲 A B 2 3 乙 4 2 可用量（千克） 原料成本（元/千克） 160 180 1.0 2.0 销售价（元） 13 16 （1）请构造数学模型使该厂利润最大，并求解。 （2）原料A、B的影子价格各为多少。

（3）现有新产品丙，每件消耗3千克原料A和4千克原料B，问该产品的销售价格至少为多少时才值得投产。

（4）工厂可在市场上买到原料A。工厂是否应该购买该原料以扩大生产？在保持原问题最优基的不变的情况下，最多应购入多少？可增加多少利润？

3.5 某玩具公司分别生产三种新型玩具，每月可供量分别为1000、2000、2000件，它们分别被送到甲、乙、丙三个百货商店销售。已知每月百货商店各类玩具预期销售量均为1500件，由于经营方面原因，各商店销售不同玩具的盈利额不同,见下表。又知丙百货商店要求至少供应C玩具1000件，而拒绝进A玩具。求满足上述条件下使总盈利额最大的供销分配方案。

甲 乙 丙 可供量

A 5 4 － 1000

B 16 8 9 2000 C 12 10 11 2000

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第三章 运输问题

3．1 根据下表，用表上作业法求最优解。 A1 A2 A3 销量

3．2 根据下表，用表上作业法求最优解。 B1 B2 A1 A2 A3 销量

3．3 求给出的产销不平衡问题的最优解 B1 B2 A1 A2 A3 销量

3.4 某市有三个面粉厂，他们供给三个面食加工厂所需的面粉，各面粉厂的产量、各面食加

工厂加工面粉的能力、各面食加工厂和各面粉厂之间的单位运价，均式于下表。假定在第1，2和3面食加工厂制作单位面粉食品的利润分别为12元、16元和11元，试确定使总效益最大的面粉分配计划（假定面粉厂和面食加工厂都属于同一个主管单位）。 食品厂 面粉厂 1 2 3 销量 1 3 4 8 15 2 10 11 11 25 3 2 8 4 20 面粉厂产值 20 30 20 5 11 9 4 12 8 7 3 B3 3 5 1 5 B4 4 9 5 6 产量 8 5 9 9 4 5 1 3 9 7 3 B3 8 4 6 2 B4 7 5 2 5 产量 3 3 5 11 B1 4 1 3 6 B2 1 2 7 5 B3 4 5 5 6 B4 6 0 1 3 产量 8 8 4 20

3.5 光明仪器厂生产电脑绣花机是以产定销的。已知1至6月份各月的生产能力、合同销量和单台电脑绣花机平均生产费用见下表： 1月份 2月份 3月份 4月份 5月份 6月份 正常生产能力（台） 加班生产能力（台） 销量（台） 单台费用（万元） 10 60 104 15 50 10 75 14 90 115 13.5 20 100 40 160 13 100 40 103 13 80 40 70 13.5 - 7 - 《运筹学》习题集

已知上年末库存103台绣花机，如果当月生产出来的机器当月不交货，则需要运到分厂库房，每台增加运输成本0.1万元,每台机器每月的平均仓储费、维护费为0.2万元。在7--8月份销售淡季，全厂停产1个月，因此在6月份完成销售合同后还要留出库存80台。加班生产机器每台增加成本1万元。问应如何安排1--6月份的生产，可使总的生产费用（包括运输、仓储、维护）最少？

3.6 设有A、B、C三个化肥厂供应1、2、3、4四个地区的农用化肥。假设效果相同，有关数据如下表： A B C 最低需要量 最高需要量 1 16 14 19 30 50 2 13 13 20 70 70 3 22 19 23 0 30 4 17 15 --- 10 不限 产量 50 60 50 试求总费用为最低的化肥调拨方案

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第四章 排队论

4.1某店仅有一个修理工人，顾客到达过程为Poisson流，平均3人/h，修理时间服从负指数分布，平均需10min。求：

（1） 店内空闲的概率；

（2） 有4个顾客的概率；

（3） 至少有1个顾客的概率； （4） 店内顾客的平均数；

（5） 等待服务的顾客的平均数； （6） 平均等待修理时间；

（7） 一个顾客在店内逗留时间超过15 min的概率。

4.2设有一单人打字室，顾客的到达为为Poisson流，平均到达时间间隔为20 min ，打字时间服从负指数分布，平均为15min。求：

（1） 顾客来打字不必等待的概率； （2） 打字室内顾客的平均数；

（3） 顾客在打字室内的平均逗留时间；

（4） 若顾客在打字室内的平均逗留时间超过1.25h，则主人将考虑增加设备及打

字员。问顾客的平均到达率为多少时，主人才会考虑这样做。

4.3汽车按平均90辆/h的Poisson流到达高速公路上的一个收费关卡，通过关卡的平均时间为38s。由于驾驶人员反映等待时间太长，主管部门打算采用新装置，使汽车通过关卡的平均时间减少到平均30s。但增加新装置只有在原系统中等待的汽车平均数超过5辆和新系统中关卡的空闲时间不超过10%时才是合算的。根据这一要求，分析采用新装置是否合算。

4.4 有一个M/M/1/5 系统，平均服务率μ ＝10。就两种到达率 λ＝6，λ＝15已得到相应的概率pn,如下表所示，试就两种到达率分析：

（1） 有效到达率和系统的服务强度； （2） 系统中顾客的平均数； （3） 系统的满员率；

（4） 服务台应从哪些方面改进工作，理由是什么？

系统中顾客数n 0 1 2 3 4 5

（λ＝6）pn, 0.42 0.25 0.15 0.09 0.05 0.04 （λ＝15）pn, 0.05 0.07 0.11 0.16 0.24 0.37

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第五章 动态规划

5．1 现有天然气站A，需铺设管理到用气单位E，可以选择的设计路线如下图，B、C、D各点是中间加压站，各线路的费用如图所标注（单位：万元），试设计费用最低的线路。

A 1 10 B3 6 C3 5 2 7 B2 10 5 7 C2 1 3 4 D2 B115 13 C11 7 5 D1 1 4 E

5.2一艘货轮在A港装货后驶往F港，中途需靠港加油、加淡水三次，从A港到F港全部可能的航运路线及两港之间距离如图，F港有3个码头F1，F2，F3，试求最合理停靠的码头及航线，使总路程最短。

A 45 B2 40 30 20 B11 30 60 C11 C2 50 60 40 30 D2 30 20 40 30 F1 D1 50 F2 F

50 C3 25 F3

5.3某公司有资金4万元，可向A、B、C三个项目投资，已知各项目的投资回报如下，求最大回报。

项目 A B C

5.4 某厂有1000台机器，高负荷生产，产品年产量S1与投入机器数Y1的关系为S1＝8Y1，机器完好率为0.7；低负荷生产，产品年产量S2与投入机器数Y2的关系为S2＝5Y2，机器完好率为0.9；请制定一个五年计划，使总产量最大。

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投资额及收益 0 0 0 0 1 41 42 64 2 48 50 68 3 60 60 78 4 66 66 76 《运筹学》习题集

5.5某厂准备连续3个月生产A种产品，每月初开始生产。A的生产成本费用为x2，其中x是A产品当月的生产数量。仓库存货成本费是每月每单位为1元。估计3个月的需求量分别为d1＝100，d2＝110，d3＝120。现设开始时第一个月月初存货s0＝0，第三个月的月末存货s3＝0。试问：每月的生产数量应是多少才使总的生产和存货费用为最小。

5.6 某公司为主要电力公司生产大型变压器，由于电力采取预订方式购买，所以该公司可以预测未来几个月的需求量。为确保需求，该公司为新的一年前四个月制定一项生产计划，这四个月的需求如表1所示。生产成本随着生产数量而变化。调试费为4，除了调度费用外，每月生产的头两台各花费为2，后两台花费为1。最大生产能力每月为4台，生产成本如2所示。

表1

表2

5.7某工厂生产三种产品，各种产品重量与利润关系如下表，现将此三种产品运往市场出售，运输能力总重量不超过6t，问应运输每种产品各多少件可使总利润最大。 产品 1 2 3

5.8 用动态规划方法求解

maxz?4x1?9x2?2x3?2x1?4x2?3x3?10??x1,x2,x3?0重量（t/件） 2 3 4 利润（千元/件） 80 130 180

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第六章 存储论

6.1某建筑工地每月需用水泥800t，每t定价2000元，不可缺货。设每t每月保管费率为0.2%，每次订购费为300元，求最佳订购批量、经济周期与最小费用。

6.2一汽车公司每年使用某种零件150，000件，每件每年保管费0.2元，不允许缺货，试比较每次订购费为1,000元或100元两种情况下的经济订购批量、经济周期与最小费用。

6.3 某拖拉机厂生产一种小型拖拉机，每月可生产1000台，但对该拖拉机的市场需要量

为每年4,000台。已知每次生产的准备费用为15,000元，每台拖拉机每月的存贮费为10元，允许缺货（缺货费为20元/台月），求经济生产批量、经济周期与最小费用。

6.4某产品每月需求量为8件，生产准备费用为100元，存贮费为5元/月件。在不允许缺货条件下，比较生产速度分别为每月20件和40件两种情况下的经济生产批量、经济周期与最小费用。

6.5对某种电子元件每月需求量为4,000件，每件成本为150元，每年的存贮费为成本的10%，每次订购费为500元。求：

（1） 不允许缺货条件下的最优存贮策略；

（2） 允许缺货（缺货费为100元/件年）条件下的最优存贮策略。

6.6某农机维修站需要购一种农机配件，其每月需要量为150件，订购费为每次400元，存贮费为0.96元/件月，并不允许缺货。

（2） 求经济订购批量、经济周期与最小费用； （3） 该厂为少占用流动资金，希望进一步降低存贮量。因此，决定使订购和存贮总

费用可以超过原最低费用的10%，求这时的最优存贮策略。

6.7某公司每年需电容器15,000个，每次订购费80元，保管费1元/个年，不允许缺货。若采购量少于1000个时，每个单价为5元，当一次采购1000个以上时每个单价降为4.9元。求该公司的最优采购策略。

6.8某工厂对某种物料的年需要量为10,000单位，每次订货费为2,000元，存贮费率为20%。该物料采购单价和采购数量有关，当采购数量在2,000单位以下时，单价为100元；当采购数量在2,000及以上单位时，单价为80元。求最优采购策略。

6.9某制造厂在装配作业中需用一种外购件，全年需求量为300万件，不允许缺货；一次订购费为100元；存贮费为0.1元/件月。该外购件进货单价和订购批量Q有关，具体如下表，求最佳订购策略。

批量（件） 0≤Q＜10000 10000≤Q＜30000 单价（元） 1.00 0.98 30000≤Q＜50000 0.96 Q≥50000 0.94

6.10试证明：一个允许缺货的EOQ模型的费用，决不会超过一个具有相同存贮费、订购

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费、但又不允许缺货的EOQ模型的费用。

6.11某时装屋在某年春季欲销售某种流行时装。据估计，该时装可能的销售量见下表：

销售量r（套） 概率P（r） 150 160 170 180 190 0.05 0.1 0.5 0.3 0.05 该款式时装每套进价180元，售价200元。因隔季会过时，故在季末需低价抛售完，较有把握的抛售价为每套120元。问该时装屋在季度初时一次性进货多少为宜？

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