专题七 数学思想方法 第1讲 函数与方程思想、数形结合思想练习
一、选择题
1.直线3x－y＋m＝0与圆x＋y－2x－2＝0相切，则实数m等于( ) A.3或－3 C.－33或3
2
22
2
B.－3或33 D.－33或33
|3＋m|3＋1
＝3?|3
解析 圆的方程(x－1)＋y＝3，圆心(1，0)到直线的距离等于半径?＋m|＝23?m＝3或m＝－33. 答案 C
2.已知函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x∈[－1，1]时，f(x)＝x，则方程f(x)＝lg x解的个数是( ) A.5 C.9
B.7 D.10
2
解析 由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0，1]的函数. 又f(x)＝lg x，则x∈(0，10]，画出两函数图象， 则交点个数即为解的个数. 由图象可知共9个交点.
答案 C
3.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为( ) A.(－1，1) C.(－∞，－1)
B.(－1，＋∞) D.(－∞，＋∞)
解析 f′(x)＞2转化为f′(x)－2＞0，构造函数F(x)＝f(x)－2x， 得F(x)在R上是增函数.
又F(－1)＝f(－1)－2×(－1)＝4，f(x)＞2x＋4， 即F(x)＞4＝F(－1)，所以x＞－1. 答案 B
4.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )
A.2 C.3
B.22 D.2
→→→→→→
解析 如图，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，则CA＝a－c，CB＝b－c.由题意知CA→⊥CB，
∴O，A，C，B四点共圆.
→
∴当OC为圆的直径时，|c|最大，此时，|OC|＝2. 答案 A
1x5.当0＜x≤时，4＜logax，则a的取值范围是( )
2A.?0，
??2?? 2?
B.?
?2?
，1? ?2?
C.(1，2) D.(2，2)
解析 利用指数函数和对数函数的性质及图象求解. 1xx∵0＜x≤，∴1＜4≤2，∴logax＞4＞1，
2∴0＜a＜1，排除答案C，D；
1111
取a＝，x＝，则有4＝2，log1＝1，
22222显然4＜logax不成立，排除答案A；故选B. 答案 B 二、填空题
6.(2015·全国Ⅱ卷改编)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为________.
xx2y2
解析 如图，设双曲线E的方程为2－2＝1(a＞0，b＞0)，则|AB|＝
ab2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N(x1，0)，
∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°， ∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°，
∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN＝2asin 60°＝3a，x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acos 60°＝2a.
x2y2c22
将点M(x1，y1)的坐标代入2－2＝1，可得a＝b，∴e＝＝
aba答案
2
a2＋b2
＝2. a2
7.已知e1，e2是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量b满足|b|＝2，b·e1＝1，b·e2
＝1，则对于任意x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|的最小值为________.
解析 |b－(xe1＋ye2)|＝b＋xe1＋ye2－2xb·e1－2yb·e2＋2xye1·e2＝4＋x＋y－2x－2y＝(x－1)＋(y－1)＋2≥2，
当且仅当x＝1，y＝1时，|b－(xe1＋ye2)|取得最小值2，此时|b－(xe1＋ye2)|取得最小值2. 答案
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
22
2
2
8.设直线l与抛物线y＝4x相交于A，B两点，与圆C：(x－5)＋y＝r(r＞0)相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是________. 解析 设直线l的方程为x＝ty＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 把直线l的方程代入抛物线方程y＝4x并整理得y－4ty－4m＝0，
则Δ＝16t＋16m＞0，y1＋y2＝4t，y1y2＝－4m，那么x1＋x2＝(ty1＋m)＋(ty2＋m)＝4t＋2m，则线段AB的中点M(2t＋m，2t).
由题意可得直线AB与直线MC垂直，且C(5，0). 当t≠0时，有kMC·kAB＝－1，
2t－012
即2·＝－1，整理得m＝3－2t， 2t＋m－5t把m＝3－2t代入Δ＝16t＋16m＞0， 可得3－t＞0，即0＜t＜3.
由于圆心C到直线AB的距离等于半径， 即d＝
所以2＜r＜4，此时满足题意且不垂直于x轴的直线有两条. 当t＝0时，这样的直线l恰有2条，即x＝5±r，所以0＜r＜5. 综上，可得若这样的直线恰有4条，则2＜r＜4. 答案 (2，4) 三、解答题
9.已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5. (1)求{an}的通项an；
(2)求{an}前n项和Sn的最大值.
解 (1)设{an}的公差为d，由已知条件，
|5－m|1＋t22
2
2
22
2
2
2
2
＝2＋2t22
1＋t＝21＋t＝r，
2??a1＋d＝1，?解得a1＝3，d＝－2. ?a1＋4d＝－5，?
所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5. (2)Sn＝na1＋
n（n－1）
d＝－n2＋4n＝4－(n－2)2.
2
所以n＝2时，Sn取到最大值4.
10.椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为2，离心率为→→
轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且AP＝3PB. (1)求椭圆C的方程； (2)求m的取值范围.
2
，直线l与y2
y2x2
解 (1)设椭圆C的方程为2＋2＝1(a＞b＞0)，设c＞0，c2＝a2－b2，由题意，知2b＝2，
abc2＝， a2
所以a＝1，b＝c＝2. 2
2
故椭圆C的方程为y＋＝1.即y＋2x＝1.
121
(2)当直线l的斜率不存在时，由题意求得m＝±；
2当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，l与椭圆C的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
??y＝kx＋m，222由?22得(k＋2)x＋2kmx＋m－1＝0， ?2x＋y＝1，?
x2
22
Δ＝(2km)2－4(k2＋2)(m2－1)
＝4(k－2m＋2)＞0，(*) －2kmm－1x1＋x2＝2，x1x2＝2.
k＋2k＋2→→
因为AP＝3 PB，所以－x1＝3x2. 所以?
?x1＋x2＝－2x2，?
??x1x2＝－3x.
2
2
2
2
2
所以3(x1＋x2)＋4x1x2＝0.
2
2
?－2km?＋4·m－1＝0.
所以3·?2?k2＋2?k＋2?
整理得4km＋2m－k－2＝0，
22
2
2
2