记p=

nk,q=,｜a｜＝m。由n和p的定义，显然有(a)=e。故m?p且m|p。

(k,n)(k,n)k

kp

km

又由于a=e，所以由定理5.2.5知，n|km。即p|qm。但p和q 互质，故p|m。 由于p和m都是正整数，所以p=m。即｜a｜＝

k

n。

(k,n)50、设是有限群，|G|＝n，则?a∈G，|a|?n。 证明：

?a?G，由封闭性及|G|=n

a=e。从而|a|?m-k?n。

m-k

可知a,a,?,a,a

2nn+1

中必有相同的元素，不妨设为a=a,k

km

51、设G＝(a)，若G为无限群，则G只有两个生成元a和a； 证明：

-1

?b?G＝(a)，则?n?I,使b=a。故b=(a

n

-n-1

)=(a),从而a也是G的生成元。

k

m

mk

mk

-1-n-1

若c是G的生成元，则?k,m?I，分别满足c=a和a=c。从而c= (c)= c。若km?1，则由消去律可知c的阶是有限的，这与|G|无限矛盾。从而km=1，即k=1,m=1或k=-1,m=-1。故c=a或c=a。 从而G只有两个生成元a和a。

52、设G＝(a)，{e}?H?G，a是H中a 的最小正幂，则

m

-1

-1

（1） H＝(a)；

（2） 若G为无限群，则H也是无限群； 证明：

（1）?b?H, ?k?I, 使得b=a。令k=mq+r, 0?r

k

m

则a=a

rk-mq

=a

k

?a

-mq

=b?(a)。

m-q

r

因为b,a

m

?H, 且H?G，所以a?H。

m

mq

m

m

m

由于0?r

（2）因为{e}?H，故H的生成元为a （m?0）。因为G是无限群，所以a的阶是无限的，从而a的阶也是无限的，故H也是无限群。

53、设G＝(a)，|G|＝n，则对于n 的每一正因子d，有且仅有一个d阶子群。因此n阶循环群的子群的个数恰为 n的正因子数。 证明：

?对n 的每一正因子d，令k=

d

kd

kd

ndn

,b=a, H={e,b,b,?,b}。

k2d-1

因为|a|=n,所以b=(a)=a=a=e且|b|=d。 从而H中的元素是两两不同的，易证H?G。 故|H|=d。所以是G的一个d阶子群。

设H1是G的任一d阶子群。则由定理5.4.4知，H1＝(a)，其中a是H1中a 的最小正幂，且|H|=

m

m

nm。

因为|H|=d，所以m=

nd=k，即H=H1。从而H是G的惟一d阶子群。

29

?设H是G的惟一的d阶子群。若d=1 ,则结论显然成立。否则H＝(a)，其中a是H中a 的最小正幂。

m

m

由定理5.4.4知，d=54、设h是从群

nm2

。故d是n的一个正因子。

?>到的群同态，G1和G的单位元分别为e和e，则

2

1

2

-1

-1

（2） ?a?G1，h(a)=h(a)； （3） 若H?G1，则h(H)?G2；

（4） 若h为单一同态，则?a?G1，|h(a)|=|a|。 证明：

(1) 因为h(e1)?h(e1)=h(e1?e1)= h(e1)= e2?h(e1),所以h(e1)=e2。 (2) ?a∈G1，h(a)?h(a)=h(a?a)= h(e1)= e2,

-1

-1

h(a)?h(a)=h(a

-1

-1

?a)= h(e)= e,故h(a

1

2

-1

)=h(a)。

-1

(3) ?c,d∈h(H),?a,b∈H，使得c=h(a),d=h(b)。故c?d=h(a)?h(b) =h(a

?b)。因为H?G，所以a?b ∈H ，故c?d∈h(H)。又c=(h(a))=h(a)且a∈H，故c∈h(H)。

-1

-1

-1

-1

-1

n

n

n

由定理5.3.2知h(H)?G2。

(4) 若|a|=n,则a=e1。故(h(a))=h(a)=h(e1)=e2。从而h(a)的阶也有限，且|h(a)|?n。

设|h(a)|=m,则h(a)= (h(a))= h(e1)=e2。因为h是单一同态，所以a=e1。即|a|?m。 故|h(a)|=|a|。

若a的阶是无限的，则类似于上述证明过程可以得出，h(a)的阶也是无限的。 故结论成立。

55、有限群G的每个元素的阶均能整除G的阶。 证明：

设|G|=n，?a?G，则|a|=m。令H={e,a,a,?,a}。

2

m-1

m

m

m

则H是G的子群且|H|=m。由Lagrange定理知|H|能整除|G|，故a的阶能整除G的阶。

56、证明：在同构意义下，只有两个四阶群，且都是循环群。 证明：

在4阶群 G中，由Lagrange定理知，G中的元素的阶只能是1，2或4。阶为1 的元素恰有一个，就是单位元e.

若G有一个4阶元素，不妨设为a，则G=（a）,即G是循环群 ，从而是可交换群。

若G没有4阶元素，则除单位元e外，G的其余3个阶均为2。不妨记为a,b,c。因为a,b,c的阶均为2，故a=a,b=b,c=c。从而a?b?a, a?b?b, a?b?e,故a?b=c。同理可得a?c=c?a=b, c?b=b?c=a,

-1

-1

-1

b?a=c。

57、在一个群中，若G中的元素a的阶是k，即|a|=k，则a的阶也是k。 证明：

因为| a |=k，所以a=e。即（a）=(a)=e。 从而a的阶是有限的，且|a|?k。

-1

-1

k

-1

k

k-1

-1

同理可证，a的阶小于等于|a|。 故a的阶也是k。

30

-1

-1

58、在一个群中，若A和B 都是G的子群。若A?B=G，则A=G或B=G。 证明：

用反证法证明。

若A?G且B?G，则有a?A,a?B且b?B,b?A。因为A，B都是G的子群，故a,b?G，从而a*b?G。 因为a?A,所以a

?1?A。若a*b?A,则b= a?1*(a*b)?A，这与a?B矛盾。从而a*b?A。

同理可证a*b?B。

综合可得a*b?A?B=G，这与已知矛盾。从而假设错误，得证A=G或B=G。

59、设e是奇数阶交换群的单位元，则G的所有元素之积为e。 证明：

设G=<{e,a1,a2,?,a2n},*>，n为正整数。

因为G的阶数为奇数2n+1，所以由拉格朗日定理知G中不存在2 阶元素，即除了单位元e以外，G的所有元素的阶都大于2。故对G中的任一非单位元a，它的逆元a元。

由此可见，G中的2n个非单位元构成互为逆元的n对元素。因为G 是交换群，故G的所有元素之积可变成单位元和n对互为逆元的元素之积的积，从而结果为e。

60、设S=Q?Q，Q为有理数集合，*为S上的二元运算：对任意(a,b)，(c,d)?S,有

(a,b)*(c,d)=(ac,ad+b),

求出S关于二元运算*的单位元，以及当a?0时，(a,b)关于*的逆元。 解：

设S关于*的单位元为(a,b)。根据*和单位元的定义，对?(x,y)?S,有

(a,b)*(x,y)=(ax,ay+b)=(x,y), (x,y)*(a,b)=(ax,xb+y)=(x,y)。

即ax=x,ay+b=y,xb+y=y对?x,y?Q都成立。解得a=1,b=0。

所以S关于*的单位元为(1,0)。

当a?0时，设(a,b)关于*的逆元为(c,d)。根据逆元的定义，有

(a,b)*(c,d)= (ac,ad+b)=(1,0) (c,d)*(a,b)= (ac,cb+d)=(1,0)

即ac=1,ad+b=0,cb+d=0。解得c=

?1不是它本身，且G中不同的元素有不同的逆

1b,d=-。 aa 所以(a,b)关于*的逆元为(

1b,-)。 aa61、设是一个群，H、K是其子群。定义G上的关系R：对任意a,b∈G，aRb ?存在 h∈H,k∈K, 使得b=h*a*k，则R是G上的等价关系。 证明：

?a∈G，因为H、K是G的子群，所以e∈H且e∈K。令h=k=e,则a=e*a*a=h*e*k,从而aRa。即R是自反

的。

?a,b∈G，若aRb，则存在 h∈H，k∈K, 使得b=h*a*k。因为H、K是G的子群，所以h

故a=h*a*k,从而bRa。即R是对称的。

-1

-1

-1

∈H且k∈K。

-1

?

a,b,c∈G，若aRb,bRc,则存在 h,g∈H，k,l∈K, 使得b=h*a*k，c=g*b*l。所以

31

c=g*b*l=g*(h*a*k)*l=(g*h)*a*(k*l)。因为H、K是G的子群，所以g*h∈H且k*l∈K。从而aRc。即R是传递的。

综上所述，R是G上的等价关系。

62、设H是G的子群，则下列条件等价： （1） H是G的不变子群； （2） ?a∈G，a?H?a（3） ?a∈G，a

-1

-1

?H；

-1

?H?a?H；

?H。

-1

（4） ?a∈G，?h∈G，a?h?a证明：

(1)?(2) ?a∈G，则对h∈H,令h1=a?h?a，因为a?h ? a?H且H?a=a?H，所以?h2∈H，使得a?h=h2?a。故h1=（h2?a）?a=h2?H。故 a?H?a

-1

-1

?H。

-1

-1

-1

(2)?(3) ?a∈G，对h∈H,令h1=a∈a?H?a。由（2）可知（h1）

-1

-1

则（h）= a?h?a。因为h?h?a，

∈H,从而h?H。故a?H?a?H 。

-1

-11-1

1

∈H，所以（h1）= a?h

-1

-1

?a

-1

(3)?(4) 类似于（2）?(3)的证明。

(4)?(1) ?a∈G，对?b∈a?H，则?h∈H，使得b=a由于a?h?a∈H，所以b∈H

-1

?h。故b=(a?h) ?(a?a)=(a?h?a)?a。

-1

-1

?a。即a?H?H?a。

?-1

反之对

?-1

b∈Ha，则

-1-1

?h∈H，使得

-1

-1-1

b=h

?a。故b=(a

?a)

-1

?(h?a)=a?(a?h?a)=a?(a?h?(a))。由于a?h?(a

即H?a=a?H。从而H是G的不变子群。

证明：

任意取定a?G，记方程a*x=a的惟一解为eR。即a*eR=a。 下证eR为关于运算*的右单位元。 对?b?G，记方程y*a=b的惟一解为y。

)∈H，所以b∈a

?H。即H?a?a?H。

63、在半群中，若对?a,b?G，方程a*x=b 和y*a=b都有惟一解，则是一个群。

?是半群，?运算*满足结合律。 ?b*e=(y*a)*e=y*(a*e)=y*a=b。

R

R

R

类似地，记方程y*a=a的唯一解为eL。即eL*a=a。 下证eL为关于运算*的左单位元。 对?b?G，记方程a*x=b的惟一解为x。

?是半群，?运算*满足结合律。 ?e*b=e*(a*x)=(e*a)*x=a*x=b。

L

L

L

从而在半群中, 关于运算*存在单位元，记为e。 现证G中每个元素关于运算*存在逆元。

对?b?G，记c为方程b*x=e的惟一解。下证c为b关于运算的逆元。记d=c*b。 则b*d=(b*c)*b=e*b=b。

?b*e=b,且方程b*x=b有惟一解，?d=e。 ?b*c=c*b=e。从而c为b关于运算的逆元。

综上所述，是一个群。

64、设是群， H和K都是G的子群，令HK={h*s | s∈K，h∈H}, KH={s*h |s∈K,h∈H},，是G

32