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文章发布时间 : 2024/5/4 11:33:29星期六

《离散数学》题库与答案一、选择或填空

（数理逻辑部分）

1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )

(1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P?(P?Q)=>?P

答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别） 2、下列公式中哪些是永真式？( )

(1)(┐P?Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P?Q)→P (4)P→(P?Q) 答：（2），（3），（4）可用蕴含等值式证明

3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P?Q (2) P?Q=>P (3) P?Q=>P?Q

(4)P?(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P?(P?Q)=>?P

答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式

4、公式?x((A(x)?B(y，x))? ?z C(y，z))?D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。

答：x,y, x,z（考察定义在公式?x A和?x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。在?x A和?x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。于是A(x)、B(y，x)和?z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x为自由变元） 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) (1) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！

答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是（命题必须满足是陈述句，不能是疑问句或者祈使句。）

6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。答：所有人都不是大学生，有些人不会死（命题的否定就是把命题前提中的量词“?换成存在?，?换成?”，然后将命题的结论否定，“且变或或变且”）

7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1） ?Q（3） P?P （注意“只有??才??”和“除非??就??”两者都是一个形式的）（2） P??Q

??Q （4）?P?Q

8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。

(1) ?x?y(x+y=0) (2) ?y?x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x存在整数 y满足x+y=0

（2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：

(1) ?x?y (xy=y) ( ) (2) ?x?y(x+y=y) ( ) (3) ?x?y(x+y=x) ( ) (4) ?x?y(y=2x) ( )

答：（1） F (反证法：假若存在，则（x- 1）*y=0 对所有的x都成立，显然这个与前提条件相矛盾) （2） F （同理）（3）F （同理）（4）T（对任一整数x存在整数 y满足条件 y=2x 很明显是正确的） 10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式 ?x(P(x)?Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立

答：（1）（在某个体域中满足不是奇数就是偶数，在整数域中才满足条件，而自然数子整数的子集，当然满足条件了）

11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。答：2不是偶数且-3不是负数。 12、永真式的否定是（）

(1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能答：（2）（这个记住就行了） 13、公式(?P?Q)?(?P??Q)化简为（），公式 Q?(P?(P?Q))可化简为（）。

答：?P ，Q?P（考查分配率和蕴含等值式知识的掌握）

14、谓词公式?x(P(x)? ?yR(y))?Q(x)中量词?x的辖域是（）。答：P(x)? ?yR(y)（一对括号就是一个辖域）

15、令R(x):x是实数，Q(x):x是有理数。则命题“并非每个实数都是有理数”的符号化表示为（答：??x(R(x)?Q(x))

（集合论部分）

16、设A={a,{a}}，下列命题错误的是（）。

(1) {a}?P(A) (2) {a}?P(A) (3) {{a}}?P(A) (4) {{a}}?P(A) 答：(2) （{a}是P（A）的一个元素） 17、在0（）?之间写上正确的符号。

(1) = (2) ? (3) ? (4) ?

答：(4)（空集没有任何元素，且是任何集合的子集） 18、若集合S的基数|S|=5，则S的幂集的基数|P(S)|=（）。

答：32（2的5次方考查幂集的定义，即幂集是集合S的全体子集构成的集合） 19、设P={x|(x+1)2?4且x?R},Q={x|5?x2+16且x?R},则下列命题哪个正确（）

(1) Q?P

(2) Q?P (3) P?Q (4) P=Q

答：（3）（Q是集合R，P只是R中的一部分，所以P是Q的真子集） 20、下列各集合中，哪几个分别相等( )。

(1) A1={a,b} (2) A2={b,a} (3) A3={a,b,a} (4) A4={a,b,c} (5) A5={x|(x-a)(x-b)(x-c)=0} (6) A6={x|x2

-(a+b)x+ab=0} 答：A1=A2=A3=A6， A4=A5（集合具有无序性、确定性和互异性） 21、若A-B=Ф，则下列哪个结论不可能正确？( ) (1) A=Ф (2) B=Ф (3) A?B (4) B?A 答：（4）（差集的定义）

22、判断下列命题哪个为真?( )

(1) A-B=B-A => A=B (2) 空集是任何集合的真子集

(3) 空集只是非空集合的子集 (4) 若A的一个元素属于B，则A=B

。

）答：（1）（考查空集和差集的相关知识） 23、判断下列命题哪几个为正确？( )

(1) {Ф}∈{Ф,{{Ф}}} (2) {Ф}?{Ф,{{Ф}}} (3) Ф∈{{Ф}} (4) Ф

?{Ф} (5) {a,b}∈{a,b,{a},{b}}

答：（2），（4）

24、判断下列命题哪几个正确？( )

(1) 所有空集都不相等 (2) {Ф}?Ф (4) 若A为非空集，则A?A成立。答：（2）

25、设A∩B=A∩C，答：=（等于）

26、判断下列命题哪几个正确？( ) (1) 若A∪B＝A∪C，则B＝C (2) {a,b}={b,a} (3) P(A∩B)?P(A)∩P(B) （P(S)表示S的幂集） (4) 若A为非空集，则A?A∪A成立。答：（2）

27、Ａ，Ｂ，Ｃ是三个集合，则下列哪几个推理正确：

(1) A?B，B?C=> A?C (2) A?B，B?C=> A∈B (3) A∈B，B∈C=> A∈C 答：（1）（（3）的反例 C为{｛0，1｝，0｝ B为｛0，1｝，A为1 很明显结论不对）

（二元关系部分）

28、设Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，从Ａ到B的关系Ｒ＝｛〈x,y〉|x=y求(1)R (2) R 答：（1）R={<1,1>,<4,2>} (2) R| ∈R）

29、举出集合A上的既是等价关系又是偏序关系的一个例子。( ) 答：A上的恒等关系

30、集合A上的等价关系的三个性质是什么？( ) 答：自反性、对称性和传递性

31、集合A上的偏序关系的三个性质是什么？( ) 答：自反性、反对称性和传递性(题29，30，31全是考查定义)

32、设S={１,２,３,４}，Ａ上的关系Ｒ＝｛〈1,2〉，〈2,1〉，〈2,3〉，〈3,4〉｝求(1)R?R (2) R 。

-1

A∩B=A∩C，则B(

)C。

?1={<1,1>,<2,4>}（考查二元关系的定义，R

?1为R的逆关系，即R

?1=｛｝

答：R?R ={〈1,1〉，〈1,3〉，〈2,2〉，〈2,4〉}（考查F?G ={|?t(∈F?∈G)}）

R =｛〈2,1〉，〈1,2〉，〈3,2〉，〈4,3〉｝

33、设Ａ＝｛1，2，3，4，5，6｝，Ｒ是A上的整除关系，求R= {( )}

R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>,<6,6>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<2,4>,<2,6>,<3,6>} 34、设Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，从Ａ到B的关系Ｒ＝｛〈x,y〉|x=2y｝，求(1)R (2) R 。答：（1）R={<1,1>,<4,2>,<6,3>} (2) R

?1-1

-1

={<1,1>,<2,4>,(36>}

-1

35、设Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，从Ａ到B的关系Ｒ＝｛〈x,y〉|x=y｝，求R和R的关系矩阵。

?1?0??0答：R的关系矩阵=?0??0??000?00??100000??00??1?? R的关系矩阵=000100

??10????000000??00?00??36、集合A={1,2,?,10}上的关系R={|x+y=10,x,y?A}，则R 的性质为（）。 (1) 自反的 (2) 对称的 (3) 传递的，对称的 (4) 传递的答：（2）（考查自反对称传递的定义）

（代数系统部分）

37、设A={2,4,6}，A上的二元运算*定义为：a*b=max{a,b}，则在独异点中，单位元是( )，零元是( )。答：2，6（单位元和零元的定义，单位元：e。x=x 零元：θ。x=θ）

38、设A={3,6,9}，A上的二元运算*定义为：a*b=min{a,b}，则在独异点中，单位元是( )，零元是( )；答：9，3

（半群与群部分）

39、设〈G,*〉是一个群，则

(1) 若a,b,x∈G，a?x=b，则x=( )； (2) 若a,b,x∈G，a?x=a?b，则x=( )。答：（1） a

?1?b （2） b （考查群的性质，即群满足消去律）

40、设a是12阶群的生成元，则a是( )阶元素，a是( )阶元素。答： 6,4

41、代数系统是一个群，则G的等幂元是( )。

答：单位元（由a^2=a,用归纳法可证a^n=a*a^(n-1)=a*a=a，所以等幂元一定是幂等元，反之若a^n=a对一切N成立，则对n=2也成立，所以幂等元一定是等幂元，并且在群中，除幺元即单位元e外不可能有任何别的幂等元）