2016年广东省深圳市第十届“学而思杯”综合能力测评（六年级）

一、填空题（每题5分，共30分）

1．（5分）下面的4个图形中有3条对称轴的图形有 个．

2．（5分）如图，正六边形内接于大圆，如果大圆的面积为2016cm2，那么，图中阴影部分面积是 cm2．

3．（5分）如图，将一个棱长为4cm的正方体从中间切开，再拼成一个长方体，那么，表面积增加了 cm2．

4．（5分）已知一个长方体的长宽高分别为3个连续自然数，并且这三个自然数均为合数，那么，这个长方体的体积最小是 ．

5．（5分）轮船从深圳到上海需要航行6昼夜，而由上海到深圳需要航行10昼夜，那么由深圳顺水放一木筏到上海，途中需经 昼夜．

6．（5分）在下面算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么下面的积是 ．

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二、填空题II〔每题6分，共30分，将答案填在下面的空格处)

7．（6分）甲乙两人要修一条公路，若甲单独修需要8天完成，乙单独修需要6天完成．现在两人按甲、乙、甲、乙…的顺序，一人一天轮流工作，那么，修完这条公路需要 天．

8．（6分）将自然数1，2，3，…依次写下去组成一个多位数123456789101112…如果写到某个自然数时，这个多位数恰好第一次被24整除，那么这个自然数是 ．

9．（6分）1000以内的非零自然数中，所有是7的倍数的数的平均数是 ． 10．（6分）在音乐中，数字“4”的发音是“fa”，现在有一类五位数，其中任意相邻的两个数字之和都能被4整除，我们称这种数叫做“发财数”，请问五位的“发财数”一共有 个．

11．（6分）如图中正六边形的面积是24，其中A、B、C都是所在边的中点，D是AB的三等分点，阴影部分的面积是 ．

三、填空题Ⅲ（每题8分，共40分，将答案填在下面的空格处）

12．（8分）甲在A地，乙在B地，当乙离B地72千米时甲才出发，两人相遇地点离A、B两地的距离之比是3：4，已知

甲、乙两人的速度比是5：4，AB两地之间的距离是 千米．

13．（8分）在学而思星球上，人们都不使用阿拉伯数字计数，而是使用英文字母计数，A、B、C…，Z分别对应0，1、2、…，25，请问地球上的201644在学而思星球上应表示为 ．

2214．（8分）己知a与b均为质数，且（2a）﹣（2b）=2016，则a与b的和为 ．

15．（8分）如图，水深7米，那么此容器还能装 立方米的水（π取3）．

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16．（8分）5个小朋发围成一圈，按照下面的方法给他们发糖果，首先给第一个小朋友，然后逆时针隔1个人发给另一个小朋发，然后逆时针隔2个人发给另一个小朋发，接着隔3个人发糖，然后是隔4个人发，隔5个人发…．一共发了2016块糖，那么第一个小朋友一共得到了 块糖．

四、解答题Ⅰ〔每题10分，共20分，写出必要步骤，否则不得分) 17．（10分）计算（写出主要计算步骤） （1）[13.5÷（11+

）﹣1÷7]×1

（2）2015.875×2016.125﹣1015.625×1016.375．

18．（10分）如图，长方形ABCD的面积是144平方厘米，已知点E、点F是线段BC的三等分点，G点是中点，那么阴影部分三角形的面积是多少平方厘米？

五、解答题Ⅱ（每题15分，共30分，写出必要步骤，否则不得分)

19．（15分）将自然数1、2、3、4…依次写在一起，构成了一个2016位数，即123456189101112…，这个2016位数除 以99余数是多少？ 20．（15分）若一个三位数

的三个数字a、b、c按从小到大排列后，怡好可

组成一个等差数列（公差可以为0），这我们

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将这样的三位数叫做“和谐数”，如375，102，…． （1）100至199之间，有多少个“和谐数”？ （2）总共有多少个“和谐数”？

（3）将所有的“和谐数”排成一列，546排在第几位？

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2016年广东省深圳市第十届“学而思杯”综合能力测评

（六年级）

参考答案与试题解析

一、填空题（每题5分，共30分）

1．（5分）下面的4个图形中有3条对称轴的图形有 2 个．

【分析】分别画出对称轴即可解决问题．

【解答】解：图1有1条对称轴，图2有3条对称轴，图3有4条对称轴，图4有3条对称轴，

所以4个图形中有3条对称轴的图形是图2，图4，

故答案为2．

【点评】本题考查图形的变换和对称性，解题的关键是理解轴对称图形的概念，学会画对称轴解决问题．

2．（5分）如图，正六边形内接于大圆，如果大圆的面积为2016cm2，那么，图中阴影部分面积是 1008 cm2．

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【分析】把原图经过割补可以得到下图，那么阴影部分的面积就等于大圆的面积的，然后根据分数乘法的意义解答即可．

【解答】解：2016×=1008（平方厘米） 答：图中阴影部分面积是1008平方厘米． 故答案为：1008．

【点评】“割补结合”：观察图形，把图形分割，再进行移补，形成一个容易求得的图形．

3．（5分）如图，将一个棱长为4cm的正方体从中间切开，再拼成一个长方体，那么，表面积增加了 16 cm2．

【分析】把正方体切成完全一样的两块长方体后，它的表面积比原来增加了2个正方体的面的面积；再拼成一个长方体，那么，表面积又减少了1个正方体的面的面积；综合上述，实际相当于只增加了1个正方体的面的面积；由此即可解答问题．

【解答】解：根据分析可得，

表面积增加了1个正方体的面的面积： 4×4=16（平方厘米）

答：表面积增加了16平方厘米． 故答案为：16．

【点评】此题要抓住一个正方体切割出2个完全一样的长方体的方法，得出切割后比原来增加了2个正方体的面，是解决此类问题的关键．

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4．（5分）已知一个长方体的长宽高分别为3个连续自然数，并且这三个自然数均为合数，那么，这个长方体的体积最小是 720 ．

【分析】确定出三个连续合数乘积最小的三个连续合数，即可解决问题． 【解答】解：要使长方体的体积最小，即要使三个连续合数的乘积最小，最小的三个连续合数分别是8，9，10， 所以长方体的体积为720． 故答案为720．

【点评】本题考查最大与最小、质数与合数、长方体的体积等质数，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

5．（5分）轮船从深圳到上海需要航行6昼夜，而由上海到深圳需要航行10昼夜，那么由深圳顺水放一木筏到上海，途中需经 30 昼夜．

【分析】由题意，6（v静水+v水）=10（v静水﹣v水），所以v静水：v水=4：1，路程S=30v

水

，即可得出结论．

【解答】解：由题意，6（v静水+v水）=10（v静水﹣v水），所以v静水：v水=4：1，路程S=30v水，

所以由深圳顺水放一木筏到上海，途中需经30昼夜． 故答案为30．

【点评】本题考查流水行程问题，考查路程、速度、时间的关系，求出v

水

静水

：v

=4：1是关键．

6．（5分）在下面算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么下面的积是 68523、68524、68529 ．

【分析】先据c与ade的乘积是ade本身，可得c为1；再由d+0没有进位和c+b=6，

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得到b=5；后由d+0=8与其后面的进位情况推算出d=7；再后由d+b+a=1b与b+d的进位情况推出a=2，至此可得e的可能值，即知道了积68bae是多少了． 【解答】解：①e×c=e，d×c=c，a×c=a?c=1； ②c+b=6，d+0没有进位?b=5；

③d+0=8，d+b+a的最大进位是2?d=6或7，可6已有?d=7；

④d+b+a=1b?7+5+a=15?b+d有进位时a=2，没有进位时a=3?b+d=1a，b+d=3?5+7=12成立，5+7=3这是不成立的?a=2；

⑤因式子中有了0、6、8和a=2，b=5，c=1，d=7?e可以为：3、4、9． 68bae=68523、68524、68529．

故：下面的积是68523、68524、68529．

【点评】此题只要找准突破点C，推得它的值，后面其它的值就好推算了，所以找准突破点是关键．

二、填空题II〔每题6分，共30分，将答案填在下面的空格处)

7．（6分）甲乙两人要修一条公路，若甲单独修需要8天完成，乙单独修需要6天完成．现在两人按甲、乙、甲、乙…的顺序，一人一天轮流工作，那么，修完这条公路需要 7 天．

【分析】把这项工作的量看作单位“1”，先依据工作时间=工作总量÷工作效率，求出两人合做需要的时间（求得的时间是带分数），由于两人是轮流工作1天，那么两人轮流工作的时间就是所得的带分数整数部分，然后依据工作总量=工作时间×工作效率，求出两人轮流工作完成的工作量，再求出剩余的工作量，依据工作时间=工作总量÷工作效率，求出甲最后完成需要的时间，最后加两人轮流工作的时间即可解答．

【解答】解：甲的工作效率为，乙的工作效率为，所以甲乙各修3天后一共完成

，还剩下1﹣=，甲只需再修一天可全部完成，所以一共

需要2×3+1=7天． 故答案为7．

【点评】解答本题的关键是求出两人轮流工作的时间，解答的依据是等量关系式：工作时间=工作总量÷工作效率．

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8．（6分）将自然数1，2，3，…依次写下去组成一个多位数123456789101112…如果写到某个自然数时，这个多位数恰好第一次被24整除，那么这个自然数是 6 ．

【分析】因为24是一个偶数，所以这个多位数的末尾一定是偶数，又因为24是3的倍数，所以这个多位数的各位数字之和一定是3的倍数． 【解答】解：12不能整除24，

1234的各位数字之和是10，不能整除24， 123456÷24=5144， 那么这个自然数是6． 故填6．

【点评】此题抓住24既是一个偶数又是3的倍数这一特征，对列举的数进行筛选．

9．（6分）1000以内的非零自然数中，所有是7的倍数的数的平均数是 500.5 ． 【分析】1000以内的非零自然数中7的倍数有：1000÷7≈142个，它们的和是7×（1+2+3+…+142），然后用和除以142即可． 【解答】解：1000÷7≈142（个） 7×（1+2+3+…+142）÷142 =7×=500.5

答：1000以内的非零自然数中，所有是7的倍数的数的平均数是500.5． 【点评】本题关键是根据求一个数的倍数的方法，求出这些数的总和．

10．（6分）在音乐中，数字“4”的发音是“fa”，现在有一类五位数，其中任意相邻的两个数字之和都能被4整除，我们称这种数叫做“发财数”，请问五位的“发财数”一共有 374 个．

【分析】按各位上的数字除以4的余数来分，可以分成1﹣3﹣1﹣3﹣1、2﹣2﹣2﹣2﹣2、3﹣1﹣3﹣1﹣3、0﹣0﹣0﹣0﹣0，其中除以4余1的数有1、5、9．除

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÷142

以4余2的数有2、6，除以4余3的数有3、7，除以4余0的有0、4、8． 【解答】解： 按照上面的分类，

符合1﹣3﹣1﹣3﹣1形式的数有3×2×3×2×3=108（个） 符合2﹣2﹣2﹣2﹣2形式的数有2×2×2×2×2=32（个） 符合3﹣1﹣3﹣1﹣3形式的数有2×3×2×3×2=72（个） 符合0﹣0﹣0﹣0﹣0形式的数有2×3×3×3×3=162（个） 所以一共有108+32+72+162=374（个）

【点评】这题的策略是先按余数进行分类，然后运用乘法原理算出各类有多少个．

11．（6分）如图中正六边形的面积是24，其中A、B、C都是所在边的中点，D是AB的三等分点，阴影部分的面积是 5 ．

【分析】如图所示，连接MN，ED，CF，则D是MN的中点，根据正六边形的面积是24，可得MN×DE=8，即可求出阴影部分的面积．

【解答】解：如图所示，连接MN，ED，CF，则D是MN的中点， 由于正六边形的面积是24，所以所以MN×DE=8，所以阴影部分的面积是故答案为5．

+MN×2DE=3MN×DE=24，

=

=5，

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【点评】本题阴影部分的面积，考查等积变形，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

三、填空题Ⅲ（每题8分，共40分，将答案填在下面的空格处）

12．（8分）甲在A地，乙在B地，当乙离B地72千米时甲才出发，两人相遇地点离A、B两地的距离之比是3：4，已知

甲、乙两人的速度比是5：4，AB两地之间的距离是 315 千米．

【分析】把AB两地之间的总距离看作单位“1”，两人相遇地点离A、B两地的距离之比是3：4，甲行了总路程的

，乙行了总路程的

，又因为甲、乙两人

，乙行了总路

的速度比是5：4，所以，在相同的时间内，当甲行了总路程的程的

×，则72千米对应的分率是（

﹣

×），然后用除法即可求出

AB两地之间的距离． 【解答】解：72÷（=72÷（=72

﹣×）

）

=315（千米）

答：AB两地之间的距离是 315千米． 故答案为：315．

【点评】本题考查了复杂的分数除法和比应用题，关键是确定单位“1”，找到具体数量对应的分率；解答依据是：已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算．

13．（8分）在学而思星球上，人们都不使用阿拉伯数字计数，而是使用英文字母计数，A、B、C…，Z分别对应0，1、2、…，25，请问地球上的201644在学而思星球上应表示为 MWPT ．

【分析】这题实际就是25进制，也就是逢25进一．25以内就用一个字母表示；大于25，小于25×25=625用两个字母表示；大于625，小于25×25×25=15625

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就用三个字母表示；大于15625，小于25×25×25×25=390625就用四个字母表示．

【解答】解：

201644÷15625=12…14144，12对应着字母M 14144÷625=22…394 22对应着字母W

394÷25=15…19 15对应着字母P，19对应着字母T 所以这个数应表示为MWPT．

【点评】这题满25才进一，因此要先确定这个数在什么范围之内，用几个字母表示．

14．（8分）己知a与b均为质数，且（2a）2﹣（2b）2=2016，则a与b的和为 28 ．

【分析】将（2a）2﹣（2b）2成4×（a+b）（a﹣b），则得到（a+b）（a﹣b）=504，然后将504分解，进行分析考查． 【解答】解：

（2a）2﹣（2b）2=2016 4×（a+b）（a﹣b）=2016 （a+b）（a﹣b）=504

504=1×504=2×252=3×168=4×126=6×84=7×72=8×63=9×56=12×42=14×36=18×28=21×24

只要分析上面的每组数中两个数的和的一半与差的一半是不是质数即可 不难得出（18+28）÷2=23 （28﹣18）÷2=5都是质数 故填28

【点评】分解之后就变成一个和差问题，（和+差）÷2=较大的数，（和﹣差）÷2=较小的数．

15．（8分）如图，水深7米，那么此容器还能装 立方米的水（π取3）．

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【分析】此题圆锥与已装水（也是一个圆锥）的高度比是7：5，所以体积比是（7×7×7）：（5×5×5），由此再根据圆锥的体积，可以求出圆锥部分还可以装多少水．圆柱的容积直接运用公式求出． 【解答】解： 圆柱部分的容积

4×4×3×3=144（立方米）

圆锥的容积4×4×3×7÷3=112（立方米）

圆锥的容积与水体积之比（7×7×7）：（5×5×5）=343：125 圆锥上面空的部分大小：343﹣125=218 112÷343×218=还能装的水144+故填

（立方米） =

（立方米）

【点评】此题的关键求出圆锥的容积和水的体积之比，然后将圆锥按比例分配求解．

16．（8分）5个小朋发围成一圈，按照下面的方法给他们发糖果，首先给第一个小朋友，然后逆时针隔1个人发给另一个小朋发，然后逆时针隔2个人发给另一个小朋发，接着隔3个人发糖，然后是隔4个人发，隔5个人发…．一共发了2016块糖，那么第一个小朋友一共得到了 807 块糖．

【分析】首先分析枚举法找到数字长度周期，再计算有多少组即可求解． 【解答】解：依题意可知：

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发糖的顺序是1，3，1，5，5，1，3，1，5，5，1， 发现周期规律为13155共5个数字． 2016÷5=403…1．

每一组都有2个1，共有403×2+1=807（个）． 故答案为：807

【点评】本题考查对周期问题的理解和运用，关键是找到周期长度和余数的关系，问题解决．

四、解答题Ⅰ〔每题10分，共20分，写出必要步骤，否则不得分) 17．（10分）计算（写出主要计算步骤） （1）[13.5÷（11+

）﹣1÷7]×1

（2）2015.875×2016.125﹣1015.625×1016.375．

【分析】（1）先化简繁分数，再按照四则混合运算的计算法则计算即可； （2）根据平方差公式简算即可．

【解答】解：（1）[13.5÷（11+）﹣1÷7]×1

=[13.5÷（11+）﹣1÷7]×1

=[13.5÷（11+）﹣1÷7]×1 =[=

÷

﹣]×

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=1

（2）2015.875×2016.125﹣1015.625×1016.375

=（2016﹣0.125）×（2016+0.125）﹣（1016﹣0.375）×（1016+0.375） =20162﹣0.1252﹣10162+0.3752

=（2016﹣1016）×（2016+1016）+（0.375﹣0.125）×（0.375+0.125） =1000×3032+0.25×0.5 =3032000+0.125 =3032000.125

【点评】此题重点考查了学生对运算定律和性质的掌握与运用情况，要结合数据的特征，灵活选择简算方法．

18．（10分）如图，长方形ABCD的面积是144平方厘米，已知点E、点F是线段BC的三等分点，G点是中点，那么阴影部分三角形的面积是多少平方厘米？

【分析】连接FG．在梯形AEFD中，根据蝴蝶模型可知S△AEH：S△EHF：S△HDF：S△

AHD=1：3：3：9，设

S△EHF为1份，则S△ABE=S△DFC=4份，首先求出△EHF的面积，=

=

，可得OF=AF，

根据风筝模型可知

OH：OF=1：2，由此即可解决问题．

【解答】解：连接FG．在梯形AEFD中，根据蝴蝶模型可知S△AEH：S△EHF：S△HDF：S△AHD=1：3：3：9，设S△EHF为1份，则S△ABE=S△DFC=4份， ∴S△EHF=∵

=，

?S长方形=

×144=6，

∴HF=AF，

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∵=

===，

，

∴OF=AF，

∴OH=HF﹣OF=AF﹣AF=∴OH：OF=1：2， ∴

=，

，

∴S△EHO=×6=2． 故答案为2．

【点评】本题考查长方形的性质、三角形的面积、蝴蝶模型、风筝模型等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，设△EHF的面积为1份是解题的关键．

五、解答题Ⅱ（每题15分，共30分，写出必要步骤，否则不得分)

19．（15分）将自然数1、2、3、4…依次写在一起，构成了一个2016位数，即123456189101112…，这个2016位数除 以99余数是多少？

【分析】先判断这个2016位数写到了多少，再判断A除以9余3，A除以11余4，根据逐级满足法，A=48+99n，可得A除以99的余数． 【解答】解：首先判断这个2016位数写到了多少． 1～9，共9位，

10～99，共90×2=180位；

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2016﹣9﹣180=1827位， 1827÷3=609个，

100～708，609×3=1827位，

所以这个多位数为1234…707708，设为A， 99=9×11，

判断9，任意分段，609÷9=57…6，（1+2+3+4+5+6）÷9=2…3．所以A除以9余3； 判断11，

+1001101102103104…707708，根据余数的加法性质，

1001101102103104…707708根据三位一段，奇数段=偶数段，

1001101102103104…707708=708﹣707+706﹣705+…+102﹣101+100=404≡8（mod11）

=

10=51300

0+3+5﹣0﹣1≡7（mod11）≡4（mod11），

所以A除以9余3，A除以11余4，

根据逐级满足法，A=48+99n，所以A除以99的余数是48．

【点评】本题考查数的整除特征，考查余数的加法性质、逐级满足法，解题的关键是先判断这个2016位数写到了多少，再判断A除以9余3，A除以11余4．

20．（15分）若一个三位数

的三个数字a、b、c按从小到大排列后，怡好可

+1001101102103104…707708≡8+7

=（99+98+…+11+10+89+67+45+23+1）×

组成一个等差数列（公差可以为0），这我们 将这样的三位数叫做“和谐数”，如375，102，…． （1）100至199之间，有多少个“和谐数”？ （2）总共有多少个“和谐数”？

（3）将所有的“和谐数”排成一列，546排在第几位？

【分析】将公差分类，求出相应的“和谐数”，即可得出结论． 【解答】解：（1）公差为0：111； 公差为1：102，120，123，132；

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公差为2：135，153； 公差为3：147，174； 公差为4：159，195，

所以100至199之间，有11个“和谐数”； （2）公差为0：111，222，…，999；

公差为1，（0，1，2），（1，2，3），…，（7，8，9），共8组，第1组有四种情况，其它组有6种情况，4+7×6=46个；

公差为2，（0，2，4），（1，3，5），…，（5，7，9），共6组，第1组有四种情况，其它组有6种情况，4+5×6=34个；

公差为3，（0，3，6），（1，4，7），（2，5，8），（3，6，9），共4组，第1组有四种情况，其它组有6种情况，4+3×6=22个；

公差为4，（0，4，8），（1，5，9），共2组，第1组有四种情况，其它组有6种情况，4+1×6=10个；

总共有9+46+34+22+10=121个“和谐数”；

（3）将所有的“和谐数”排成一列，100～199：11个； 200～299： 公差为0：222；

公差为1：201，210，213，231，234，243； 公差为2：204，240，246，264； 公差为3：258，285，共13个； 300～399： 公差为0：333；

公差为1：312，321，324，342，345，354； 公差为2：315，351，357，375；

公差为3：306，360，369，396，共15个； 400～499： 公差为0：444；

公差为1：423，432，435，453，456，465； 公差为2：402，420，426，462，468，486；

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公差为3：417，471；

公差为4：408，480，共17个； 500～599： 公差为0：555；

公差为1：534，543，546，564，567，576； 公差为2：513，531，537，573，579，597； 公差为3：528，582；

公差为4：519，591，共17个； 11+13+15+17+8=64， 所以546排在第64位．

【点评】本题考查等差数列，考查“和谐数”，考查分类讨论的数学思想，正确分类讨论与理解新定义是关键．

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