对性地解决问题．在由递推公式求通项公式时，首项是否可以被吸收是易错点．同时，还应注意到题目设问的层层深入，前一问常为解决后一问的关键环节，为求解下一问指明方向．
n?n?例13数列?an?满足a1?0,a2?2,an?2?(1?cos2)an?4sin2,n?1,2,3,L,（I）求
22a3,a4，并求数列?an?的通项公式；（II）设Sk?a1?a3?L?a2k?1，Tk?a2?a4?L?a2k，
Wk?2Sk(k?N?)，求使Wk?1的所有k的值，并说明理由．（湖南卷第20题） 2?Tk略解：（I）
a3?(1?cos2?2)a1?4sin2?2?a1?4?4,a4?(1?cos2?)a2?4sin2??2a2?4,一般地,当
n=2k?1(k?N?)时，
a2k?1?[1?cos2(2k?1)?(2k?1)?]a2k?1?4sin2?a2k?1?4,即a2k?1?a2k?1?4. 22所以数列?a2k?1?是首项为0、公差为4的等差数列，因此a2k?1?4(k?1).当n=2k(k?N?)时，a2k?2?(1?cos22k?2k?)a2k?4sin2?2a2k,所以数列?a2k?是首项为2、公比为2的等比22?2(n?1),n?2k?1(k?N?),?数列，因此a2k?2k.故数列?an?的通项公式为an??n
?2??2,n?2k(k?N).（II）由（I）知，
Sk?a1?a3?L?a2k?1=0?4?L?4(k?1)?2k(k?1),Tk?a2?a4?L?a2k2?22?L2k?2k?1?2,Wk?2Skk(k?1)?. k?12?Tk233515于是，W1?0,W2?1,W3?,W4?,W5?,W6?.
22416下面证明:当k?6时，Wk?1.事实上,当k?6时，
Wk?1?Wk?(k?1)kk(k?1)k(3?k)?k?1??0,即Wk?1?Wk.又W6?1,所以当k?6时，Wk?1.故满2k22k足Wk?1的所有k的值为3,4,5.
数列知识点回顾
第一部分：数列的基本概念
1．理解数列定义的四个要点
⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．
⑵在数列中同一个数可以重复出现．
⑶项an与项数n是两个根本不同的概念．
⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列．
2．数列的通项公式
一个数列{an}的第n项an与项数n之间的函数关系，如果用一个公式an=f(n)来表示，就把这个公式叫做数列{an}的通项公式。若给出数列{an}的通项公式，则这个数列是已知
n?1?S1,的。若数列{an}的前n项和记为Sn，则Sn与an的关系是：an=?。
S?S.n?2n?1?n第二部分：等差数列
1．等差数列定义的几个特点：
⑴公差是从第一项起，每一项减去它前一项的差(同一常数)，即d=an－an?1(n≥2)或d=an?1－an(n?N?)．
⑵要证明一个数列是等差数列，必须对任意n?N?，an－an?1=d(n≥2)或d=an?1－an都成立．一般采用的形式为：
① 当n≥2时，有an－an?1=d(d为常数)． ②当n?N?时，有an?1－an=d(d为常数)． ③当n≥2时，有an?1－an=an－an?1成立．
若判断数列{an}不是等差数列，只需有a3－a2≠a2－a1即可． 2．等差中项
若a、A、b成等差数列，即A=b成等差数列，故A=
a?ba?b，则A是a与b的等差中项；若A=，则a、A、22a?an?1a?b是a、A、b成等差数列，的充要条件。由于an=n?1，所以，
22等差数列的每一项都是它前一项与后一项的等差中项。
3．等差数列的基本性质
⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d． ⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd．
⑶若{an}、{bn}为等差数列，则{an±bn}与{kan＋b}(k、b为非零常数)也是等差数列． ⑷对任何m、n?N?，在等差数列{an}中有：an=am+(n－m)d，特别地，当m=1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性．
⑸、一般地，如果l，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且l+k+p+…=m+n+r+…（两边的自然数个数相等），那么当{an}为等差数列时，有：al+ak+ap+…=am+an+ap+…．
⑹公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd(k为取出项数之差)．
⑺如果{an}是等差数列，公差为d，那么，an，an?1，…，a2、a1也是等差数列，其公差为－d；在等差数列{an}中，am?l－al=am?k－ak=md．(其中m、k、l?N?)
⑻在等差数列中，从第一项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项． ⑼当公差d＞0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d＜0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d＝0时，等差数列中的数等于一个常数．
⑽设al，am，an为等差数列中的三项，且al与am，am与an的项距差之比
l?m
=?（?m?n
≠－1），则am=
al??an． 1??n(a1?an)n(n?1)d的比较 与Sn=na1＋
224．等差数列前n项和公式Sn=
前n项和公式 Sn=n(a1?an) 2Sn=na1＋n(n?1)d 2公式适用范围 相同点 用于已知等差数列的首项和末项 都是等差数列的前n项和公式 用于已知等差数列的首项和公差 5．等差数列前n项和公式Sn的基本性质
⑴数列{an}为等差数列的充要条件是：数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn=an2+bn的形式(其中a、b为常数)．
⑵在等差数列{an}中，当项数为2n(n?N*)时，S偶－S奇=nd，S奇S偶=
an；当项数为(2nan?1－1)(n?N?)时，S偶－S奇=an，
S奇S偶=
n． n?1⑶若数列{an}为等差数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍然成等差数列，公差为n2d．
⑷若两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别是Sn、Tn(n为奇数)，则
n?m(a－b)． n?mSn=2． Tnbn?12an?1⑸在等差数列{an}中，Sn=a，Sm=b(n＞m)，则Sm?n=
⑹等差数列{an}中，上．
SnSdd是n的一次函数，且点（n，n）均在直线y=x+(a1－)nn22⑺记等差数列{an}的前n项和为Sn．①若a1＞0，公差d＜0，则当an≥0且an?1≤0时，Sn最大；②若a1＜0，公差d＞0，则当an≤0且an?1≥0时，Sn最小．
第三部分：等比数列
1．正确理解等比数列的含义
⑴q是指从第2项起每一项与前一项的比，顺序不要错，即q=
an?1an(n?N?)或q=
an(nan?1≥2)．
⑵由定义可知，等比数列的任意一项都不为0，因而公比q也不为0．
⑶要证明一个数列是等比数列，必须对任意n?N?，
an?1an=q；或
an=q(n≥2)都成立． an?12．等比中项与等差中项的主要区别
Gb如果G是a与b的等比中项，那么=，即G2=ab，G=±ab．所以，只要两个同号．．aG的数才有等比中项，而且等比中项有两个，它们互为相反数；如果A是a与b的等差中项，
a?b那么等差中项A唯一地表示为A=，其中，a与b没有同号的限制．在这里，等差中项．．2与等比中项既有数量上的差异，又有限制条件的不同．
3．等比数列的基本性质 ⑴公比为q的等比数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等比数列，其公比为qm(m为等距离的项数之差)．
⑵对任何m、n?N?，在等比数列{an}中有：an=am·qn?m，特别地，当m=1时，便得等比数列的通项公式，此式较等比数列的通项公式更具有普遍性．
⑶一般地，如果t，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且t+k，p，…，m+…=m+n+r+…(两边的自然数个数相等)，那么当{an}为等比数列时，有：at．ak．ap．…=am．an．ap．…．．
⑷若{an}是公比为q的等比数列，则{|an|}、{a2n}、{kan}、{
1}． q1}也是等比数列，其an公比分别为|q|}、{q2}、{q}、{
⑸如果{an}是等比数列，公比为q，那么，a1，a3，a5，…，a2n?1，…是以q2为公比的等比数列．