大学物理学习题答案

习题一答案 习题一

1.1 简要回答下列问题：

(1) 位移和路程有何区别？在什么情况下二者的量值相等？在什么情况下二者的量值不相

等？

(2) 平均速度和平均速率有何区别？在什么情况下二者的量值相等？

(3) 瞬时速度和平均速度的关系和区别是什么？瞬时速率和平均速率的关系和区别又是什

么？

(4) 质点的位矢方向不变，它是否一定做直线运动？质点做直线运动，其位矢的方向是否一

定保持不变？ (5) ?r和?r有区别吗？?v和?v有区别吗？

dvdv?0和?0各代表什么运动？ dtdt(6) 设质点的运动方程为：x?x?t?，y?y?t?，在计算质点的速度和加速度时，有人先求

出r?x2?y2，然后根据

d2rdrv? 及 a?2

dtdt而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即

?d2x??d2y??dx??dy?v?????? 及 a??2???2? ?dt??dt??dt??dt?你认为两种方法哪一种正确？两者区别何在？

(7) 如果一质点的加速度与时间的关系是线性的，那么，该质点的速度和位矢与时间的关系是否也是线性的？

(8) “物体做曲线运动时，速度方向一定在运动轨道的切线方向，法向分速度恒为零，因此

其法向加速度也一定为零.”这种说法正确吗？

(9) 任意平面曲线运动的加速度的方向总指向曲线凹进那一侧，为什么？

(10) 质点沿圆周运动，且速率随时间均匀增大，an、at、a三者的大小是否随时间改变？ (11) 一个人在以恒定速度运动的火车上竖直向上抛出一石子，此石子能否落回他的手中？如果石子抛出后，火车以恒定加速度前进，结果又如何？

1.2 一质点沿x轴运动，坐标与时间的变化关系为x?4t?2t2，式中x,t分别以m、s为单位，试计算：(1)在最初2s内的位移、平均速度和2s末的瞬时速度；(2)1s末到3s末的平均

1

2222加速度；(3)3s末的瞬时加速度。 解：

(1) 最初2s内的位移为为： ?x?x(2)?x(0)?0?0?0(m/s) 最初2s内的平均速度为： vave??x0??0(m/s) ?t2t时刻的瞬时速度为：v(t)?dx?4?4t dt2s末的瞬时速度为：v(2)?4?4?2??4m/s

?vv(3)?v(1)?8?0????4m/s2 ?t22dvd(4?4t) (3) 3s末的瞬时加速度为：a????4(m/s2)。

dtdt (2) 1s末到3s末的平均加速度为：aave?1.3 质点作直线运动，初速度为零，初始加速度为a0，质点出发后，每经过?时间，加速度均匀增加b。求经过t时间后，质点的速度和位移。

解: 由题意知，加速度和时间的关系为

ba?a0?t

?利用dv?adt，并取积分得

b2b??，v?at?t dv?a?tdv0?0???2???00?再利用dx?vdt，并取积分[设t?0时x0?0]得

xtvtx0?dx??vdt，?x?012b3a0t?t 26?1.4 一质点从位矢为r(0)?4j的位置以初速度v(0)?4i开始运动，其加速度与时间的关系为a?(3t)i?2j.所有的长度以米计，时间以秒计.求：

（1）经过多长时间质点到达x轴；

（2）到达x轴时的位置。 解： v(t)?v(0)?32??a(t)dt?4?t?i?(2t)j ??02??tt13??2r(t)?r(0)?vtdt?4t?ti?4?tj ???????02??（1） 当4?t?0，即t?2s时，到达x轴。

2 2

（2） t?2s时到达x轴的位矢为 ：r(2)?12i 即质点到达x轴时的位置为x?12m,y?0。

1.5 一质点沿x轴运动，其加速度与坐标的关系为a???x，式中?为常数，设t?0时刻的质点坐标为x0、速度为v0，求质点的速度与坐标的关系。

2d2x???2x 解：按题意 2dtd2xdvdvdxdv???v由此有 ??x?， 2dtdxdtdxdt2即 vdv???xdx， 两边取积分 得

122?vv0vdv???2?xdx，

x0x2222211v2?12v0??2?x?2?x0

?v?22由此给出 v???A2?x2，A??0??x0

???

2????21.6 一质点的运动方程为r(t)?i?4tj?tk，式中r，t分别以m、s为单位。试求：

??drdv解：(1) 速度和加速度分别为： v??(8t)j?k， a??8j

dtdt????2 (2) 令r(t)?xi?yj?zk，与所给条件比较可知 x?1，y?4t，z?t

所以轨迹方程为：x?1,y?4z2。

1.7 已知质点作直线运动，其速度为v?3t?t(ms)，求质点在0~4s时间内的路程。 解: 在求解本题中要注意：在0~4s时间内，速度有时大于零，有时小于零，因而运动出

442?1(1) 质点的速度与加速度；(2) 质点的轨迹方程。

现往返。如果计算积分vdt，则求出的是位移而不是路程。求路程应当计算积分vdt。

002??令v?3t?t?0，解得t?3s。由此可知：t?3s时，v?0，v?v； t?3s时，v?0；而t?3s时，v?0，v??v。因而质点在0~4s时间内的路程为

3

s?2vdt?vdt?(?v)dt?3t?tdt?3t?t????dt ?????200303434341??31?1?3??t2?t3???t2?t3??6(m)。

3?0?23?33?21.8 在离船的高度为h的岸边，一人以恒定的速率v0收绳，求当船头与岸的水平距离为x时，船的速度和加速度。

解: 建立坐标系如题1.8图所示，船沿X轴方向作直线运动，欲求速度，应先建立运动方程，由图题1.8，可得出

O X

r h v0

x Y 习题1.8图

34x2?r2?h2

两边求微分，则有

2x船速为

dxdr?2r dtdtdxrdr ?dtxdtv?按题意

dr??v0(负号表示绳随时间t缩短)，所以船速为 dtx2?h2v??v0

x负号表明船速与x轴正向反向，船速与x有关，说明船作变速运动。将上式对时间求导，可得船的加速度为

2h2v0dva???3

dtx负号表明船的加速度与x轴正方向相反，与船速方向相同，加速度与x有关，说明船作变加

速运动。

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