专题05 平面解析几何
1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C的焦点为F1(?1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B
两点．若|AF2|?2|F2B|，|AB|?|BF1|，则C的方程为
x2?y2?1 A．2
x2y2??1 B．32x2y2??1 D．54x2y2??1 C．43【答案】B
【解析】法一：如图，由已知可设F2B?n，则AF2?2n,BF1?AB?3n， 由椭圆的定义有2a?BF1?BF2?4n,?AF1?2a?AF2?2n．
4n2?9n2?9n21在△AF1B中，由余弦定理推论得cos?F1AB??．
2?2n?3n3在△AF1F2中，由余弦定理得4n?4n?2?2n?2n?2213?4，解得n?． 32x2y2?2a?4n?23,?a?3,?b?a?c?3?1?2,?所求椭圆方程为??1，故选B．
32222
法二：由已知可设F2B?n，则AF2?2n,BF1?AB?3n， 由椭圆的定义有2a?BF1?BF2?4n,?AF1?2a?AF2?2n．
?4n2?4?2?2n?2?cos?AF2F1?4n2在△AF1F2和△BF1F2中，由余弦定理得?2， 2?n?4?2?n?2?cos?BF2F1?9n又?AF2F1,?BF2F1互补，?cos?AF2F1?cos?BF2F1?0，两式消去cos?AF2F1,cos?BF2F1，得
3n2?6?11n2，解得n?3．?2a?4n?23,?a?3,?b2?a2?c2?3?1?2,?所求椭圆方2x2y2程为??1，故选B．
32【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y=2px(p>0)的焦点是椭圆A．2 C．4 【答案】D
2
x23p?y2p?1的一个焦点，则p=
B．3 D．8
x2y2pp2??1的一个焦点，【解析】因为抛物线y?2px(p?0)的焦点(,0)是椭圆所以3p?p?()，3pp222解得p?8，故选D．
【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p的方程，从而解出p，或者利用检验排除的方法，如p?2时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排除B，C，从而得到选D．
x2y23．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F为双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)的右焦点，O为坐标原点，以
abOF为直径的圆与圆x2?y2?a2交于P，Q两点．若PQ?OF，则C的离心率为
A．2 C．2 【答案】A
【解析】设PQ与x轴交于点A，由对称性可知PQ?x轴，
B．3 D．5
|PA|?又QPQ?|OF|?c，?∴|OA|?c,?PA为以OF为直径的圆的半径， 2c?cc?，?P?,?， 2?22?
c2c2c2c2222又P点在圆x?y?a上，???a，即?a,?e?2?2．
2a44222?e?2，故选A．
【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a的关系，可求双曲线的离心率．
x2y24．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C：?=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为
42坐标原点，若PO=PF，则△PFO的面积为
A．
32 4 B．
32 2C．22 【答案】A
D．32 【解析】由a?2,b?2,c?a2?b2?6,QPO?PF,?xP?6， 2又P在C的一条渐近线上，不妨设为在y?bb263x上，则yP??xP?， ??aa222?S△PFO?11332，故选A． OF?yP??6??2224【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素
养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．
1x2y25．【2019年高考北京卷理数】已知椭圆2?2?1（a＞b＞0）的离心率为，则
2a bA．a2=2b2 C．a=2b 【答案】B
【解析】椭圆的离心率e?故选B.
【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，属于容易题，注重基础知识?基本运算能力的考查.由题意利用离心率的定义和a,b,c的关系可得满足题意的等式.
6．【2019年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2?y2?1?|x|y就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：
B．3a2=4b2 D．3a=4b
c12?,c?a2?b2，化简得3a2?4b2， a2
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是 A．① C．①② 【答案】C
B．② D．①②③
|x|?3x23x24?2【解析】由x?y?1?xy得，y?xy?1?x，?y?， ?1?,1?厔0,x?2?443?22222所以x可取的整数有0，?1，1，从而曲线C:x?y?1?xy恰好经过(0，1)，(0，?1)，(1，0)，(1，
22