. . .
2?(?i?j?k)a2?b2?(i?j?k) （3）
a2?b3?(i?j?k)ab1?在体心立方中
aa1?(?i?j?k)2aa2?(i?j?k) （4） 2ab3?(i?j?k)2由（2）式可得
b1?2?(j?k)a （5） 2?a2?(k?i)a2?a3?(i?j)a比较（1）与（5），（3）与（4）便可得面心立方与体心立方互为正，倒格子。
方法2：由方法一中的（1）可知正格子与倒格子之间存在如下关系：
1i?j,??{ ai?bj?2??ijij0i?j
2?(?i?j?k)a2?b?(i?j?k) 由此可得面心立方的倒格子基矢：2a2?b3?(i?j?k)ab1?2?(j?k)a2?a?(k?i) 同理可得体心立方的倒格子基矢：2a2?a3?(i?j)ab1?比较可得面心立方和体心立方互为正倒格子。
2. a,b,c为简单正交格子的基矢，试证明晶面族（h k l）的晶 面间距为
..........
. . .
dhkl?[(h/a)2?(k/b)2?(l/c)2]?1/2
解：a?ai,b?bj,c?ck, ??a?(b?c)?abc
由
p19(2.2.7)知
a*?2?(b?c)/?b*?2?(c?a)/? c*?2?(a?b)/?可得：
2?ia2?b*?j
b2?*c?kca*?2?2?2?? kh?ha?kb?lc?hi?kj?lkabc***
再由
p22中k2?khh和dhkl的关系：kh?2?/dhkl可得：
dhkl?证。
?2?h2k2l2(a)?(b)?(c)h2k2l2???()?()?(bc)?得?a3. 设一二维格子的基矢
a1?0.125nma2?0.250nma1与a2,
,
夹角a=120，试画出第
一与第二布里渊区。二维倒格子基矢
b1,b2与正格子基矢间有如下关系：
bi?aj?2??ij,?ij?{10解：
i?j,i?j
a1?0.125nm;a2?0.250nm
令
a1?a,则a1?ai a2??ai?3aj
bi?aj?2??ij2?2?2?
?b1?i?j，b2?ja3a3a ..........
. . .
2?令?b。则3a
b1?（b3i+j）b2?bj
中间矩形为第一布里渊区，阴影部分为第二布里渊区。
晶格振动和晶体的热学性质
1， 求一维单原子链的振动模式密度g???，若格波的色散可以忽略，其g???具有什
么形式，比较这两者的g???曲线。
解: ?1?一维单原子链的晶格振动的色散关系为
???msin?qa 其中，?m?2 M2此函数为偶函数，只考虑q?0的情况，下式右边乘2。?为
??d?区间振动模式数目
g(?)d??2?l1d?
2?grad?1d?aqaa222??mcos???m??? 其中，grad??dq222故色散关系为
12l22?2g?????????
?am?2N???2m??12?2?
其中，l为单链总长，a为晶格常数，因此，N为原子个数。
。而且振动模式密度函g???数?2?若格波没有色散，既只有一个?E（爱因斯坦模型）满足下面关系
?g???d??N
故，g???为?函数
g????N?????E?
..........
. . . g(?)g(?)=2N(?m??)g(?)=N?(???E)22-1/2/??1??2?色散关系的曲线图如下：
的德拜温度?D?? 解：德拜温度为
?
4. 金刚石（碳原子量为12）的杨氏模量为1012N?m2，密度??3.5g?cm?3。试估算它
?D?2?DkB13
将?D???6?N?Y，，代入上式 V?V?ss?V???D?kBY?6?N???? ??V?Y?6????????N??34213213?kB?6?3.14?3.5?10?1.0546?1010?K ?233??27?1.3807?103.5?10?12?1.6605?10??2817K?5. 试用德拜模型求晶体中各声频支格波的零点振动能。
解：在德拜模型中，纵波与横波的最大振动频率均为?D??13122313?6?N??Vs，其中V??211?12???。 ?333?Vs3?VlVt?V?2V?2gl????23,gt????23
2?Vl2?Vt纵波的零点振动能为
U0l?????D?20?D?gl???d?
?22?0V?22??Vl3d?
V?D42316?Vl ..........