2017年普通高等学校招生全国统一考试全国卷2

理科数学参考答案

一、选择题：

1.D 2.C 3 B 4.B 5.A 6.D 7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B

二、填空题：

13. 1.96 14. 1 15.

三、解答题： 17.（12分）解：

2n n?116. 6

2（1）由题设及A?B?C??得sinB?8sinB，故 2sinB?（41?cosB）

上式两边平方，整理得 17cos2B?32cosB?15?0 解得 cosB=1（舍去），cosB=（2）由cosB=15 1715814得sinB?，故S?ABC?acsinB?ac 171721717又S?ABC=2，则ac?

2由余弦定理及a?c?6得

b2?a2?c2?2accosB?(a?c)2?2ac(1?cosB)

?36?2?所以b?2 18.（12分）

解：（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”， C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”.

由题意知P(A)?P(BC)?P(B)P(C)

旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为(0.012?0.014?0.024?0.034?0.040)?5?0.62， 故P(B)的估计值为0.62

新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为(0.068?0.046?0.010?0.008)?5?0.66， 故P(C)的估计值为0.66

因此，事件A的概率估计值为0.62?0.66?0.4092

（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表

5

1715?(1?)?4 217 旧养殖法 新养殖法 箱产量?50kg 箱产量?50kg 62 34 38 66 200?(62?66?34?38)2K??15.705

100?100?96?1042由于15.705?6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关。 （3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为

(0.004?0.020?0.044)?5?0.34?0.5，

箱产量低于55kg的直方图面积为

(0.004?0.020?0.044?0.068)?5?0.68?0.5，

故新养殖法箱产量的中位数的估计值为

50?0.5?0.34?52.35(kg)

0.0681AD 219.（12分）解：（1）取PA的中点F，连接EF,BF，因为E是PD的中点，所以EF//AD，EF??由?BAD??ABC?90，得BC//AD，又BC?1AD，所以EF//BC， 2四边形BCEF是平行四边形，CE//BF，又BF?平面PAB，CE?平面PAB， 故CE//平面PAB

????????（2）由已知得BA?AD，以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，|AB|为单位长，建立如图所示的

空间直角坐标系A?xyz，则

A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,3)， ????????PC?(1,0,?3),AB?(1,0,0)

设M(x,y,z)(0?x?1)，则

??????????BM?(x?1,y,z),PM?(x,y?1,z?3)

因为BM与底面ABCD所成的角为45，而n?(0,0,1)是底面ABCD的法向量，

???????所以|cos?BM,n?|?sin45,|z|(x?1)2?y2?z2?2222，即(x?1)?y?z?0........① 2?????????又M在棱PC上，设PM??PC，则x??,y?1,z?3?3?........②

6

??22x?1?,x?1?,??22????由①，②解得?y?1,（舍去），?y?1,

??6?z???z?6??22???????2626所以M(1?,1,)，从而AM(1?,1,)

2222设m?(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量，则

????????(2?2)x0?2y0?6z0)?0,?m?AM?0, 即所以可取m?(0,?6,2)， ?????????x0?0,?m?AB?0,于是cos?m,n??10m?n10,因此二面角M?AB?D的余弦值为 ?5|m||n|5?????????20. （12分）解：（1）设P(x,y)，M(x0,y0)，则N(x0,0),NP?(x?x0,y),NM?(0,y0)

?????????由NP?2NM得

x0?x,y0?2y 2x2y2??1，因此点P的轨迹方程为x2?y2?2 因为M(x0,y0)在C上，所以22（2）由题意知F(?1,0)，设Q(?3,t),P(m,n)，则

????????????????????????OQ?(?3,t),PF?(?1?m,?n),OQ?PF?3?3m?tn，OP?(m,n),PQ?(?3?m,t?n) ????????由OQ?PQ?1得?3m?m2?tn?n2?1，又由（1）知m2?n2?2，故3?3m?tn?0 ????????????????所以OQ?PF?0，即OQ?PF.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，

所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. 21.（12分）解：（1）f(x)的定义域为(0,??)

设g(x)?ax?a?lnx，则f(x)?xg(x),f(x)?0等价于g(x)?0 因为g(1)?0,g(x)?0，故g?(1)?0，而g?(x)?a?若a?1，则g?(x)?1?1,g?(1)?a?1，得a?1 x1,当0?x?1时，g?(x)?0,g(x)单调递减； xa?1 g?(x)?0,g(x)单调递增,所以x?1是g(x)的极小值点，当x?1时，故g(x)?g(1)?0，综上，

（2）由（1）知f(x)?x?x?xlnx,f?(x)?2x?2?lnx

7

2)?2?设h(x)?2x?2?lnx，则h?(x111?)时，h?(x)?0. ,当x?(0,)时，h?(x)?0；当x?(,?x221122111?2又h(e)?0,h()?0,h(1)?0，所以h(x)在(0,)有唯一零点x0，在[,??)有唯一零点1，且当

222所以h(x)在(0,)单调递减，在(,??)单调递增.

x?(0,x0)时，h(x)?0；当x?(x0,1)时，h(x)?0；当x?(1,??)时，h(x)?0.

因为f?(x)?h(x)，所以x?x0是f(x)的唯一极大值点.

由f?(x0)?0得lnx0?2(x0?1)，故f(x0)?x0(1?x0).由x0?(0,1)得f(x0)?1. 4因为x?x0是f(x)在(0,1)的最大值点，由e?1?(0,1),f?(e?1)?0得f(x0)?f(e?1)?e?2. 所以e?2?f(x0)?2?2

22.解：（1）设P的极坐标为(?,?)(??0)，M的极坐标为(?1,?)(?1?0).

由题设知|OP|??,|OM|??1?4 cos?由|OM|?|OP|?16得C2的极坐标方程??4cos?(??0) 因此C2的直角坐标方程为(x?2)?y?4(x?0)

（2）设点B的极坐标为(?B,?)(?B?0).由题设知|OA|?2,?B?4cosa，于是?OAB面积

22S?1??3|OA|??B?sin?AOB?4cosa?|sin(a?)|?2|sin(2a?)?|?2?3. 2332当a??

?12时，S取得最大值2?3,所以?OAB面积的最大值为2?3 23.解（:1）(a?b)(a5?b5)?a6?ab5?a5b?b6?(a3?b3)2?2a3b3?ab(a4?b4)?4?ab(a2?b2)2?4

3(a?b)23(a?b)3(a?b)?2?（2）因为(a?b)?a?3ab?3ab?b?2?3ab(a?b)?2? 4433223所以(a?b)?8，因此a?b?2.

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