卷号：（A） （ 年 月 日） 机密

4. 设矩阵A＝??5?77??, 则矩阵Ａ的关于解方程组Ax?b的条件数cond10?

?(A)?______________.

2010-1011学年第1学期

(A) 7 (B) 49 (C) 17 (D)289

5. 解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是

yk?1?12(yp?yc)

2008级数学与应用数学专业《数值计算方法》期末考试试卷A卷

线 名 姓 号 学 订 业 专 装级年

题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 题分 10 24 15 15 10 16 10 核分人 得分 阅卷人 复查人 一、选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

1. 已知??3.1415926?，则近似值x?3.14160有_______位有效数字。 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D)6

2. 以下矩阵是严格对角占优矩阵的为__________．

?2?100??5210??(A) ??12?10????0?12?1?，

(B)?1410???1141? ??00?12????0012???52?10??4211?? (C) ?142?1????1410???2141? (D) ?2?141? ??0012????1315??3. 过(0，1)，(2，4)，(3，1)点的分段线性插值函数P(x)=____________.

?

(A) ?3?2x?10?x?2?3 (B) ?x?10?x?2?2

???3x?102?x?3???3x2?102?x?3?3 (C) ??2x?10?x?2? (D) ?3?2x?10?x?2

???3x?102?x?3???x?42?x?3 那么yp,yc分别为( )．

(A) ?yp?yk?hf(xk,yk) (B) ??yp?yk?hf(xk?1,yk)?

?y?

c?yk?hf(xk?1,yk)??yc?yk?hf(xk,yp)(C) ??yp?yk?f(xk,yk)??yp?yk?hf(xk,y??y,y (D) ?k)

??yck?f(xkp)??yc?yk?hf(xk?1,yp)二、填空题（本大题共12个空，每空2分，共24分）

1.数值计算中的误差主要有模型误差、观测误差、截断误差和_________。 2.计算定积分In??1xn0x?6dx,(n?1,2,?,m)的数值稳定的递推公式为_________________________.

3.用迭代公式x1k?1?1?x2求方程x3?x2?1?0在x0?1.5附近的一个根，此迭代公式在x0?1.5附近

k_______(填是或不是)局部收敛的.

4.为使求积公式?1f(x)dx?f(x0)?f(x1)的代数精度尽可能高，取求积节点x0?______?1x1?_______. 5.拟合三点(x1,f(x1))，(x2,f(x2))，(x3,f(x3))的水平直线是__________________________. 6.弦截法是求非线性方程f(x)?0的一种迭代方法，其收敛阶p为____________.

7.Newton迭代法是求非线性方程f(x)?0的一种逐步线性化方法，求方程x3?3x?1?0在x0?2附近的

根，相应的Newton迭代公式为________________________________________(k=0,1,2,…).

8. 有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是_____________次的.

9. 幂法是一种求解矩阵A的主特征值的近似值的迭代公式，取v0?0为初始向量，其计算公式为

uk?_____________，mk?______________,vk?_________.

三、（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

1.已知插值条件f(0)?f(1))?0,f(2)?1，求f[0,1,2]；（5分）

2.写出关于节点x0，x1，x2的2次Newton插值公式，并根据以上插值条件构造f(x)的2次插值多项式

- 1 -

N2(x)；（5分）

3. 又已知f?(1)?0，采用Newton插值多项式与待定系数法结合的的方法构造满足所有插

值条件的3次插值多项式p3(x)。 （5分）

四、（本大题共2小题，第一小题8分，第二小题7分，共15分）

?410??1?求解线性方程组AX=b，其中A=??121????，b??2? ??011????2??1.写出求解此线性方程组的雅可比迭代公式及Gauss-Seidel迭代公式；（8分） 2.判断雅可比迭代公式的敛散性.（7分）

?2x1?2x2?3x3?3,五、用列主元Gauss消去法解线性方程组??4x1?7x2?7x3?1, （10分）

???2x1?4x2?5x3??7.

六、（本大题共3小题，第一小题8分，第二小题3分，第三小题5分，共16分）

??12?2?已知A=??3?14??求解下列问题： ??2?3?2??1. 对矩阵A使用三角分解法，即使得A?LU, （8分）

2. det(A), （3分）

3. 已知b?(?1,7,0)T,用LU三角分解法求解线性方程组AX=b. （5分）

七、(本题共2小题，每小题5分，共10分)

1.写出梯形公式及其余项，并用梯形公式计算积分?10.5xdx（保留三位有效数字）

， 2. 写出Simpson公式及其余项，并用Simpson公式计算积分?10.5xdx（保留三位有效数字）.

2008级本科《数值计算方法》期末试卷A卷答案

一、选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1.C 2. B 3. A 4. D 5. D

二、填空题（本大题共12个空，每空2分，共24分）

1.舍入误差 , 2. I1n?1?6In?16n,n?m,m?1,?,2,1.

3. 是 , 4. ?1

1 或者

1 333?1,

35.y?13 6.

1?5或1.618,

3?f(xi) , i?12x37. xk?3xk?1k?1?xk?3x2 8. 5

k?39. Avk?1 , max(uukk) ,

m ．

k三、（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

1. f[0,1]?0, f[1,2]?1, ……………………………………………3分

f[0,1,2]?1/2 ……………………………………………2分

2 N2(x)?f(x0)?f[x0,x1](x?x0)?f[x0,x1,x2](x?x0)(x?x1)，……3分

N12(x)?2x(x?1)………………………………………………………………2分

3 设p3(x)?N2(x)?c(x?0)(x?1)(x?2),…………………………2分

p?3(x)?x?1/2?c[(x?1)(x?2)?x(x?2)?x(x?1)]，…………………1分 - 2 -

由p?3(1)?0，得c?1/2.……………………………………………………… 1分 p1213(x)?12x(x?1)?2(x?0)(x?1)(x?2)?132x?x?2x.……………1分

四、（本大题共2小题，第一小题8分，第二小题7分，共15分）

?x(k?1)(k)1??0.25x2?0.25,1. 该线性方程组雅可比迭代公式为??x(k?1)(k)5x(k)2??0.5x1?0.3?1,………………4分

??x(k?1)3??x(k)2?2,?x(k?1)??0.25x(k)12?0.25,该线性方程组Gauss-Seidel迭代公式为??x(k?1)(k?1)(k)2??0.5x1?0.5x3?1,……………4分

?(k?x?1)3??x(k?1)2?2,2. 由该线性方程组的系数矩阵A得雅可比迭代矩阵为

?0?0.250?

B0＝???0.50?0.5?? …………………………………………………1分 ??0?10???0.2500.5?0.5??(?2?0.5)?0.25?0.5???(?2?0.625)?0…………3分

01?解得特征根：?1?0,?2??0.79,?3?0.79. …………………………………………1分

因为所有?k?1，由定理4可知，该线性方程组的雅可比迭代收敛. ……………………2分

五、（本大题10分）

?2x1?2x2?3x3?3,解：线性方程组??4x1?7x2?7x3?1, 的系数矩阵的增广矩阵???2x1?4x2?5x3??7.~?2233??4771??4771?A????4771?????2233??（2分）??0?1.5?0.52.5??（2分）?

???245?7?????245?7????07.58.5?6.5???4771??4771???6.5???07.58.5?（2分）??07.58.5?6.5??（2分），

??0?1.5?0.52.5????001.21.2?? ?4x1?7x2?7x3?1,相应的三角形方程组为??2??7.5x5x??2?8.3??6.5,回代求解得x??2（???2分）.

?1.2x3?1.2.??1??六、（本大题共3小题，第一小题8分，第二小题3分，第三小题5分，共16分）

??100?????12?2??1解：L????310?， U??05?2? ………………………………8分 ?1??251??????00?28?5??2解：det（A）=det（U）=285，………………………………………………………………3分

3 解：解线性方程组Ly?b,或者直接利用三角分解法，得 y?(?1,4,?145)T，…………3分

再解线性方程组Ux?y,得x?(2,1,12)T.……………………………2分

七、(本题共2小题，每小题5分，共10分)

1. 解：梯形公式Tb?a1?2[f(a)?f(b)]， ………………………………2分

(3余项I?Tb?a)1??12f??(?),??[a,b].…………………………………1分

?10.5xdx?14(0.5?1)?0.427.………………………………………2分

为

2.解：Simpson公式S?a1=

b6(f(a)?4f(a?b2)?f(b)).……………………………2分

5余项I?S1??(b?a)2880f(4)(?),??[a,b]. …………………………………1分

?110.5xdx?12(0.5?40.75?1)?0.431.……………………………2分

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