222C6C23C4第三种情况：2黑2白，用C表示。P(??1|C)?0，P(C)??，P(??0|C)?2?1，

C8414C4P(??2|C)?0；

由全概率公式：

15 2812 P(??1)?P(??1|A)P(A)?P(??1|B)P(B)?P(??1|C)P(C)?281 P(??2)?P(??2|A)P(A)?P(??2|B)P(B)?P(??2|C)P(C)?281E??0*P(??0)?1*P(??1)?2*P(??2)?

2P(??0)?P(??0|A)P(A)?P(??0|B)P(B)?P(??0|C)P(C)?也可以把第三次取出的白球数?看作服从伯努利分布，即?~B(2,1/4)，E??np?1/2。 27、一台仪器有3个元件，各个元件发生故障与否相互独立，且发生故障的概率分别为0.2，0.3，0.4。求发生故障元件总数?的E?和D?。

解：设发生故障的元件数为?，则?=0,1,2,3。三个元件发生故障分别记为A，B，C。

P(A)?0.2，P(B)?0.3，P(C)?0.4，三个元件发生故障与否相互独立，因而： P(??0)?P(ABC)?P(A)P(B)P(C)?0.336

P(??1)?P(ABC?ABC?ABC)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)?0.452 P(??2)?P(ABC?ABC?ABC)?0.188

P(??3)?P(ABC)?P(A)P(B)P(C)?0.024

E??0*P(??0)?1*P(??1)?2*P(??2)?3*P(??3)?0.9 E?2?02*P(??0)?12*P(??1)?22*P(??2)?32*P(??3)?1.42 D??E?2?(E?)2?0.61

28、设一部机器在一天内发生故障的概率是0.2，若一周5个工作日无故障则机器可产生利润10万元，发生1次故障仍可生利5万元，发生2次故障就没有利润了，若发生3次或3次以上的故障就要亏损2万元。试求一周利润的期望值。

解：令?代表一周内机器发生故障的次数，?=0,1,2，…，5，显然，?~B(5,0.2)

?5?5?P(??0)??0.2?0.8?0.32768 ?0???

29

?5?14?P(??1)??0.2?0.8?0.4096 ?1????5?23?P(??2)??0.2?0.8?0.2048 ?2???P(??3)?1?P(??0)?P(??1)?P(??2)?0.05792

所以，E??10?0.32768＋5?0.4096＋0?0.2048＋(?2)?0.05792?5.126（万元）。

30

第四章 连续型随机变量

1、试根据习题3第1题随机变量?的概率分布列写出?的分布函数，并画出分布函数的图形。

123??0解：概率分布列为??0.0270.1890.4410.343??

??x?0?0?0.0270?x?1??其分布函数为F(x)??0.2161?x?2

?0.6572?x?3??x?3?1（图形略）。

?0，?1，??10?2、已知离散型随机变量的分布函数是F(x)??5?，?10??111解：P(??0)?F(0)?F(0?0)??0?

1010111514P(??)?F()?F(?0)???

22210101055P(??1)?F(1)?F(1?0)?1??

10101??1??02? 所以，?~?145?????101010??0,?1?,?3?13、已知?的分布函数为F(x)??,?2?2,?3??1,???x??1?1?x?0???x?010?x?2 试求?的概率分布列。

1?x?121?x???0?x?1，试求?=?的分布函数。 1?x?22?x???211解：P(???1)?F(?1)?F(?1?0)??0?

33111P(??0)?F(0)?F(0?0)???

236211P(??1)?F(1)?F(1?0)???

326

31

P(??2)?F(2)?F(2?0)?1?21? 33??10所以，?~?11??361162?1? ?3?而?=?2?0，从而?~?1??6112y?0?0?10?y?14???6?1，所以，?的分布函数为F(y)?? 2??1?y?43??3?y?4?14、已知离散型随机变量?的分布列和分布函数可以写成：

?0,?r,???011.523?s,??1?1，F(x)??1abc???2,6?3??t,???u,???x??1?1?x?00?x?11?x?22?x?33?x??? 其中a,b,c,r,s,t,u是常数，

试先求概率P(??1.2)，P(??0.5)，再求常数a,b,c,r,s,t,u的值。 解：

P(??1.2)?F(1.2)?F(1.2?0)?11??0 2212P(??0.5)?1?P(??0.5)?1?P(??0)?1??

330?P(???1)?F(?1)?F(?1?0)?r?0?r，所以r?0

11?P(??0)?F(0)?F(0?0)?s?r?s，所以s? 33111

a?P(??1)?F(1)?F(1?0)??s?，所以a?

266

112?P(??2)?F(2)?F(2?0)?t?，所以t? 623又x?3，F(x)?1，所以u?1

c?P(??3)?F(3)?F(3?0)?1?211?，所以c? 33311而?pi?1，从而?a?b??c?1，所以，b?0

36i因此，a?

1112，b?0，c?，r?0，s?，t?，u?1 633332