第二章 基本定理

1、试用概率的可加性证明，若事件B蕴含A，即B?A，则必成立P(A?B)?P(A)?P(B)；而对任意的两事件A，B，必成立P（A?B）。 ?P（A?AB）?P（A）?P（AB）解：B?A，则A?B?，而B与A-B互不相容，因此由概率的可加性，有：（A?B）??P（B）P（A）?P?B?（A?B）?P（A?B），从而有P(A?B)?P(A)?P(B)——（*）。

若B?A，则P（A?B）?P（A?AB），显然AB?A，利用（*）式，有 P（A?B）?P（A?AB）?P（A）?P（AB）2、已知， P?A?=0.5，P?B?=0.4，P?AB?=0.1，试求 （1）P?A?B?；（2）P?A|B?；（3）P?B|A?；（4）PA|B 解：（1）P?A?B??P（A）?P（B）?P（AB）?0.8； （2）P?A|B??（3）P?B|A??P（AB）0.1??0.25；

P（B）0.4P(AB)0.1??0.2； P(A)0.5P(AB)P(A?B)P(A)?P(AB)2???； P(B)1?P(B)1?P(B)3??（4）PA|B???3、已知A、B是独立事件，P?A?=0.3，P?B?=0.6，试求 （1）P?A|B?；（2）P?A?B?；（3）PB|A；（4）PA|B 解：（1）P?A|B??P(A)?0.3；

（2）P?A?B??P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A)?P(B)?0.7； （3）PB|A?1?P(B)?0.4； （4）PA|B?1?P(A)?0.7

4、设P?A?>0，P?B?>0，试将下列4个数：P?A?，P?AB?，P?A?+P?B?，P?A?B?按由小到大的顺序用不等号“≤”联结起来，并分别对每个不等号指明何时成为等号。

?????????P（A）?P（B）?P（AB）解：P（A?B）

?0时“?”成立 ?P（A）?P（B）?P（A?B），当P（AB） 9

，当B?A时“?”成立 ?A?A?B?P（A）?P（A?B），第一个等号在A?B时成立。 ?AB?A?P（AB）?P（A）?P（A?B）?P（A）?P（B）15、已知独立事件A、B均不发生的概率为，“A发生B不发生”及“A不发生B发生”

9的概率相等。求P?A?。

解：根据题意可得：PAB=PAB，根据事件A、B是独立的可知，事件A与B以及事件

A与B都是独立的，从而有：P(A)P(B)?P(A)P(B)，再由对立事件的概率公式及一些简

????单计算可得P(A)?P(B)，又由题意可得P(AB)?1，结合独立性以及P(A)?P(B)可推出92。 36、已知A、B、C三事件两两独立，ABC??

19（1）若P?A?=P?B?=P?C?<及P?A?B?C?=，求P?A?；

2161（2）若P?A?=P?B?=P?C?>0，试证P?A?<。

2P(A)?解：（1）P?A?B?C??P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC) ?3P(A)?3P(A)2?所以：P(A)?13或者P(A)?（舍去） 449 16（2）证明：P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?2P(A)?P(A)2

由于A?B?A?B?C，于是2P(A)?P(A)2?3P(A)?3P(A)2，从而P(A)?注解：有反例可以说明，题中要求证明P(A)?1 21是不正确的，等号是可以成立的。 27、设已知事件A、B、C相互独立，试证：A?B，AB，A?B与C独立。 （[A?B）C]?P（AC?BC）?P（AC）?P（BC）?P（ABC）解：（1）P

?P（A）P（C）?P（B）P（C）?P（A）P（B）P（C）?P（C）[P（A）?P（B）?P（A）P（B）]

?P（C）[P（A）?P（B）?P（AB）]?P（C）P（A?B）

（[AB）C]?P（ABC）?P（A）?P（B）?P（C）?P（AB）?P（C）（2）P

（[A?B）C]?P[ABC]?P（A）?P（B）?P（C）?P（AB）?P（C）（3）P ?P（A?B）?P（C）

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8、设射手在相距100米处对目标进行射击，击中的概率是0.6；若第一次未击中，则进行第二次射击，但目标将被移远使距离拉成了150米；若第二次仍未击中，则进行第三次射击，此时已是相距200米了。设射手击中目标的概率与距离成反比，求射手击中目标的概率。

解：设A=“相距100米射击击中”；B=“相距150米射击击中”；C=“相距200米射击击中”；D=“击中目标”；

P（A）?0.6；P(B/A)?100100?0.6?0.4；P(C/AB)??0.6?0.3； 150200P(D)?P(A?B?C)?P(A)?P(BA)?P(CAB)?0.6?0.4?0.4?0.4?0.6?0.3?0.832

9、投掷两个均匀的骰子，试求：

（1）若已知点数和是偶数时，点数和等于8的概率； （2）若已知点数和是奇数时，点数和大于6的概率； （3）若已知点数和大于6时，点数和是奇数的概率； 解：（1）设A1=“点数和是偶数”，B1=“点数和等于8”

P（B1|A1）?P（A1B1）P（B1）5??。（参照第一章第7题）

P（A1）P（A1）18（2）设A2=“点数和是奇数”，B2=“点数和大于6”

P（B2|A2）?P（A2B2）12?

P（A2）18P（A2B2）1212??。

P（B2）1?2?3???621?（3）P（A2|B2）11110、三个人独立地同时破译一密码，若各人能译出的概率分布是，，，求次密码能

534被他们破译出的概率。

解：设A=“甲译出密码”；B=乙译出密码”；C=丙译出密码”

111=，P（B）=，P（C）= P（A）534P（A?B?C）?P（A）?P（B）?P（C）?P（AB）?P（AC）?P（BC）?P（ABC）

111111111111471213???????????????? 53453543434560606052343?1-P(ABC)?1-P(A)P(B)P(C)?1????。 或者P（A?B?C）345511、盒中装有编号自1到10的十张卡片，现从中任意抽看两张的编号，第一次看一张，看后放回，混合后再抽看一张。若记第一张卡片的编号为?，第二张卡片的编号为?，现

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令A?{??4}，B?{????7}，试求P?B|A?及P?A|B?。

112?解：P（B|A）P（AB）11?1?

P（A）C1010P（AB）1?

P（B）612、袋中装有10个白球和20个黄球，今从中取出5个球（不放回），接着再取出10个球。P（A|B）?求第一次取出全是黄球且第二次取出黄、白球各半的概率。

解：设A=“第一次取出的全是黄球”；B=“第二次取出的黄、白球各半”；

555C20C10?C15 P（AB）?P（A）?P（B|A）?5?10C30C2513、袋中装有a只白球，b只黄球，现从袋中任意取出1个球，观察颜色后再旋即放回袋中，并另加入c只与之同色的球。如此观察了三次，试求前两次取得黄球第三次取得白球的概率。

解：A1=“第一次取黄球”；A2=“第二次取黄球”；A3=“第三次取白球”；

bb?ca ??a?ba?b?ca?b?2c14、对一批空调设备70台要作验收检查，规定检查时对任意抽出的2台设备作样本进行检

P（A1A2A3）?P（A1）?P（A2|A1）P（A3|A1A2）?查，先抽1台，不放回地再抽第二台，样本中只要有1台式次品就退货，否则就通过。生产厂知道这批产品中有3台是次品，试求下列事件的概率：

（1）这批货获得通过；（2）样本中恰有1台次品；（3）这批空调设备被退货。 解：A1=“第一次抽到次品”；A2=“第二次抽到次品”；D=“被退货”。 （1）P（A1A2）?P（A1）P（A2|A1）?67661474 ??70691610?P（A1A2）?P（A1A2）?P（A1）P（A2|A1）?P（A1）P（A2|A1）（2）P（A1A2?A1A2）

673367134 ????7069706916101474136（3）P（D） ?1?P（A1A2）?1??16101610?15、B公司在B1厂和B2厂生产电视机显像管，每周产量共3000个，其中B1厂生产1800个有1%为次品，B2厂生产1200个有2%是次品。现从每周的产品中任选一个，求下列事件的概率：

（1）选出的产品是次品；

（2）已知选出产品是次品，它是由B1厂生产的；

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