第一章 基本概念

1、试对下列随机试验各写出一个样本空间： （1）掷一颗骰子；

（2）一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1、2、3、4、5，从中同时取出3个球； （3）10只产品中有3只是次品，每次从中任取一只（取出后不放回），直到将3只次品全部取出，记录抽取的次数；

（4）对某工厂生产的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如果查出2件次品就停止检查，或者查满4件也就停止检查，记录检查结果。 解：（1）?＝{1,2,3,4,5,6}

（2）?＝{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)}

5个球中选3各球进行组合，有C53＝10种。

（3）?＝{3，4，5，6，7，8，9，10}

最少抽取的次数是每次取出的都是次品；最多抽取的次数是把10只产品全部取出，总能抽出3个是次品。

（4）用数字1代表正品，数字0代表次品；样本空间包括查出2件是次品和查满4件产品这两种情况。

?＝{(0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1,0),(1,0,1,0),(1,1,0,0),(1,1,1,0),(1,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,1),(0,1,1,1)}

2、工厂对一批产品作出厂前的最后检查，用抽样检查方法，约定，从这批产品中任意取出4件产品来做检查，若4件产品全合格就允许这批产品正常出厂；若有1件次品就再作进一步检查；若有2件次品则将这批产品降级后出厂；若有2件以上次品就不允许出厂。试写出这一试验的样本空间，并将“正常出厂”、“再作检查”、“降级出厂”、“不予出厂”这4个事件用样本空间的子集表示。 解：用数字1代表正品，数字0代表次品

设＝“正常出厂”； ＝“再作检查”； ＝“降级出厂”；D＝“不予出厂”

A＝{(1,1,1,1)}

B?{(0,1,1,1),(1,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,0)}

C?{(0,1,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,1),(1,0,0,1),(1,0,1,0),(1,1,0,0)} D?{(0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,1,0,0),(1,0,0,0),(0,0,0,0)}

1

??A?B?C?D?{(1,1,1,1),(0,1,1,1),(1,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,0),(0,1,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,1),(1,0,0,1),(1,0,1,0),(1,1,0,0),(0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,1,0,0),(1,0,0,0),(0,0,0,0)}3、设A、B、C是三个事件，试用A、B、C的运算关系表示下列事件： （1）A与B都发生，但C不发生；

（2）A发生，但B与C可能发生也可能不发生； （3）这三个事件都发生； （4）这三个事件都不发生； （5）这三个事件中至少有一个发生； （6）这三个事件中最多有一个发生； （7）这三个事件中至少有两个发生； （8）这三个事件中最多有两个发生； （9）这三个事件中恰有一个发生； （10）这三个事件中恰有两个发生。 解：（1）ABC

（2）A （3）ABC （4）ABC （5）A?B?C

（6）ABC?ABC?ABC?ABC （7）AB?AC?BC （8）ABC

（9）ABC?ABC?ABC （10）ABC?ABC?ABC

4、设?＝试用?的子集表示出下列事件； {1，2，3，4，5，6}，A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4},C?{4,5,6}，

(1)AB;(2)A?B;(3)B?A;(4)ABC;(5)A(B?C).

解：（1）AB?{4} （2）A?B?{2,3,4,5,6} （3）B?A?{1,2,3,5,6}

（4）ABC?{4,5,6} （5）A(B?C)?{1,4,5,6} 5、对三个任意给定的事件A、B、C：

（A?B）(B?C) （2）试将A?B?C表成互斥事件之和 （1）试化简

2

（3）化简(A?B)(A?B)(A?B)(A?B) （4）化简AB?AB?AB?AB?AB 解：（1）(A?B)(B?C)?[A(B?C)]?[B(B?C)]＝[AB?AC]?[B?BC]

?AB?AC?B?B?AC

（2）A?B?C?(A?AB)?(B?BC)?(C?AC)?ABC

（3）(A?B)(A?B)(A?B)(A?B)?(A?AB?BA?BB)(A?AB?BA?BB)

?(A?BB)(A?BB)?AA??

（4）AB?AB?AB?AB?AB?(A?A)B?(A?A)B?AB

?B?B?AB??AB?AB

6、指出下列各题是否正确（提示，可借助文氏图） （1）A?B?AB?B （2）AB?A?B （3）A?BC?ABC （4）AB(AB)??

（5）若A?B，则A?AB （6）若AB??,C?A，则BC＝? （7）若A?B，则B?A （8）若B?A，则A?B?B （9）若A?C?B?C，则A?B （10）若A?C?B?C，则A?B 解：（1）AB?B?(A?B)?(B?B)?A?B 正确

（2）AB?B?A?A?B 错误

（3）A?BC?(A?B)?(A?C)?AB?AC?ABC 错误 （4）AB(AB)?ABB?A???? 正确 （5）若A?B，AB?A 正确

（6）若AB??,C?A,则BC?AB??,?BC?? 正确 （7）A?B,B?A 正确

（8）若B?A,则A?B?A?B 错误

（9）若A?C?B?C,A可以不等于B。当A?C,B?C时，A?B等式也成立。 （10）若A?C?B?C,A可以不等于B。当C?A,C?B时，A?B等式也成立

3

错误 错误

7、对投掷一对均匀骰子的试验，可给出两个样本空间?和?1如下：?是由第一颗骰子与第二颗骰子出现点数的对子组成，有

?(1,1)?(2,1)???(3,1)?＝??(4,1)?(5,1)???(6,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(1,6)?(2,6)??(3,6)??? (4,6)?(5,6)??(6,6)??3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}。在求出现“点数之和而?1由两颗骰子出现点数之和组成，有?1＝{2，611＝；依?1计算得p＝，试分别解释得此结果的依36611据，哪一个结果正确？怎样理解这一正确结果？

等于7”的概率时，依?计算的p＝解：这两个结果都是依古典概率公式算得，因为骰子是均匀的，故每次投掷出现哪一个点数均应是等可能的，所以有理由认为对样本空间?，其样本点是具等可能性的，据此用古

6典概率公式算出的结果p?是正确的，因为?中有6个样本点使点数之和等于7，而?中

36共有36个样本点。这个概率的意义是说明在作大量次数投掷一对均匀骰子的试验时，约有11那么多次会碰上点之和为7的结果。依?1计算得p＝，同样也用了古典概率公式，?16111中共有11个样本点，而点数之和等于7只是1个样本点，所以得p＝，但是，对?1而

11言，其样本点的等可能性明显是不成立的。

8、假设发现了一颗不均匀的骰子，由于它，使得在进行掷一对骰子的试验时，在上题的样本空间?中出现偶数和（如（1,1）、（1,3）……）的次数比奇数和（如（2.1）、（2,3）……）的次数多一倍，求下列事件的概率：

（1）点数和小于6； （2）点数和等于8； （3）点数和是偶数

解：（1）在本题中，由于样本空间?中出现偶数和的次数比奇数和的次数多一倍，因此样本空间?中共有36＋18＝54个样本点；而点数和小于6这一事件分为点数和出现偶数并小于6和点数和出现奇数并小于6这两个事件，点数和出现偶数并小于6的事件包含

{(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,1),(1,3),(2,2),(3,1)}共8个样本点，而点数和出现奇数并小于6的事件

包括{(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),(4,1)}共6个样本点，因此点数和小于这一事件包括8＋6＝

14。 54（2）样本空间中的样本数同（1），包括54个样本点；而点数和等于8这一事件包括

14{(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}共10个样本点，所以得到p＝。

54（3）样本空间中的样本数同（1），包括54个样本点；而点数和是偶数这一事件包括18

14个样本点，所以得到p＝ 4