△Rt△AOP△Rt△ACQ， △OP=CQ， 即2t=10﹣t， 解得：t=

10， 310s时，PA=QA. 3即当运动时间为

9.（2019·中原名校大联考）如图，直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣x+5交于B，C两点，已知点D的坐标为（0，3）

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M，N分别是直线BC和x轴上的动点，则当△DMN的周长最小时，求点M，N的坐标．

【答案】见解析.

【解析】解：（1）在y＝﹣x+5中，当x＝0， y＝5，当y＝0， x＝5， 点B、C的坐标分别为（5，0）、（0，5），

将（5，0）、（0，5），代入y＝﹣x2+bx+c，并解得：b=4，c=5 即二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+5.

（2）在y＝﹣x2+bx+5中，当y＝0时， x＝﹣1或5， △A（﹣1，0），OB＝OC＝2， ∴△OCB＝45°；

过点D分别作x轴和直线BC的对称点D′（0，﹣3）、D″，

△△OCB＝45°，

∴CD″△x轴，点D″（2，5），

连接D′D″交x轴、直线BC于点N、M，此时△DMN的周长最小， 设直线D’D’’的解析式为：y＝mx+n

将D′（0，﹣3），D″（2，5），代入解得：m=4，n=－3， 直线D’D’’的解析式为：y＝4x﹣3，

3∴N(，0).

4817联立y＝4x﹣3，y＝﹣x+5得：x=，y=，

55817即M(，).

5510.（2019·郑州模拟）如图，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，OB=OC．点 D 在函数图象上，CD∥x 轴，且 CD=2，直线 l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点．

（1）求b，c的值．

（2）如图 1，连接 BE，线段 OC 上的点 F 关于直线 l 的对称点 F′恰好在线段 BE 上，求点 F 的坐标．

（3）如图 2，动点 P 在线段 OB 上，过点 P 作 x 轴的垂线分别与 BC 交于点M，与抛物线交于点 N．试问：抛物线上是否存在点 Q，使得△PQN 与△APM 的面积相等，且线段 NQ 的长度最小？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，说明理由．

图1 图2

【答案】见解析.

【解析】解：（1）∵CD∥x轴，CD=2，C在y轴上， ∴抛物线的对称轴为：x=1， 即b=－2，

∵OB=OC，C(0，c)， ∴B(-c,0)，

即c2+2c+c=0，解得：c=0（舍）或c=－3， 即b=-2，c=-3，

（2）抛物线的解析式为：y= x2-2x-3， 可得：E(1,-4)，A(-1,0)，B(3,0),C(0,-3), 则直线BE的解析式为：y=2x-6，

设F(0,m)，则其关于直线l对称点为F’(2,m)， ∵F’在直线BE上， ∴m=－2， 即F(0，－2). (3)存在，理由如下：

过点Q作QD⊥PN于D，连接PQ、NQ，

设点P(x，0)，

由B(3,0),C(0,-3)得直线BC的解析式为：y=x－3 则M(x，x-3)，N(x,x2-2x-3)， AP=x+1，PM=3-x，PN= -x2+2x+3 ∵S△PQN=S△APM，

∴PN·DQ=AP·PM，

∴（-x2+2x+3）DQ=(x+1)(3-x)，即DQ=1， ①当点D在直线PN右侧时， D(x，x2-4),Q(x+1,x2-4)， 则DN=|2x-1|,

在Rt△DNQ中，由勾股定理得： NQ2=(2x-1)2+12

1??=4?x??+1,

2??1315当x=时，NQ取最小值，此时Q(，?)；

224115②当点Q在直线PN的左侧时，由对称性求得：此时Q(，?)；

2411.（2019·郑州模拟）如图，抛物线y=-x2+bx+c和直线y=x+1交于A、B两点，点A在x轴上，点B在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C.

（1）求抛物线的解析式.

（2）点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线x=3上．

①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积； ②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上．

2

【答案】见解析.