可得：

CEMECM???3， MFDFDM41即MF=m，DF=m，

931413△DG=DF+GF=m+4﹣m=4－m，EF=EM+FM=m，

393即点D(

1348m, m－4)，将其坐标代入y＝x2?x－4得： 93324?13?813??m???m?4?m?4， 3?9?39解得：m=0（舍）或m=△D点横坐标为：

1179， 67613131m=. 9521△当△MDC＝△ACO＝△PCH时，

2同理可得：

MF＝4m，DF＝3m， △EF＝EM+MF＝m+4m＝5m，

45DG＝DF+FG＝3m﹣m+4＝m+4，

335△D（5m，﹣m﹣4），

35482△﹣m﹣4=??5m????5m??4，

333解得m＝0（舍去）或m＝

7, 207此时D点横坐标为：5m=；

4综上所述，点D横坐标为

1317或． 4521【变式2-1】（2019·洛阳模拟）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，

3

1），点B（9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标和四边形AECP的最大面积；

（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】见解析.

1【解析】解：（1）将A(0,1)，B（9,10）代入y=x2+bx+c得：

3c?1??c?1 ，解得：???27?8b?c?10?b??21∴抛物线的解析式为：y=x2－2x+1.

31（2）由y=x2－2x+1知，抛物线的对称轴是x=3，

3∵AC∥x轴，A(0,1)，

∴A与C关于对称轴对称，C(6,0)，AC=6 由A(0,1),B(9,10)得直线AB的解析式为：y=x+1，

1设P（m，m2－2m+1），则E(m，m+1)，

31∴PE=－m2+3m，

3∴S四边形AECP=S△AEC+S△APC

11=·AC·EF+·AC·PF 2211=×6×（－m2+3m） 23

9?81?=??m???，

2?4?298195∴当m=时，四边形AECP的面积取最大值，此时点P(，?).

2424（3）存在，点Q坐标为（4,1）或（－3,1）.

1由y=x2－2x+1知点P(3, -2)，

3∴PF=3，CF=3，

∴∠PCF=45°，同理，∠EAF=45°， 即∠PCF=∠EAF，

由勾股定理得：AB=92，AC=6，PC=32， 设Q（n，1）， ①当△CPQ∽△ABC时，

CQPC?， ACAB即

6?n32?，解得：t=4， 692即Q(4,1).

②当△CQP∽△ABC时，

CQPC?， ABAC即6?n32?，解得：t=－3，

692即Q(－3,1).

综上所述，符合题意的点Q坐标为：(4,1)或(－3,1).

391.（2019·济源一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线y??x?与x轴交于点A，与y轴交于点

44B；抛物线y?ax2?bx?9（a≠0）过A，B两点，与x轴交于另一点C(-1，0)，抛物线的顶点为D． 4（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线AB上方的抛物线上有一动点E，求出点E到直线AB的距离的最大值；

（3）如图2，直线AB与抛物线的对称轴相交于点F，点P在坐标轴上，且点P到直线 BD，DF的距离相等，请直接写出点P的坐标．

图1 图2

【答案】见解析.

399【解析】解：（1）在y??x?中，当x=0时，y=；当y=0时，x=3，

4449即A(3，0)，B(0，)，

4将A(3，0)，C(－1，0)代入y?ax2?bx?9得： 493??9a?3b??0a??????44，

，解得：???a?b?9?0?b?3??42??339△抛物线的解析式为：y??x2?x?.

424（2）过点E作EM△x轴交AB于M，过E作EN△AB于N，

点E到AB的距离为EN， 可得△ENM△△AOB， △

ENEM, ?OAAB9在Rt△AOB中，OA=3，OB=，

4由勾股定理得：AB=

15， 4