ADADOO

BEC

BEC

11【解析】 解法一：连接DE，依题意SVAOB??BO?AO??9?AO?54，所以AO?12，

2211则SVAOD??DO?AO??16?12?96．

2213又因为SVAOB?SVDOE?54??16?OE，所以OE?6，

241133得SVBOE??BO?EO??9?6?30，

224835所以SOECD?SVBDC?SVBOE?SVABD?SVBOE??54?96??30?119．

8816 解法二：由于SVAOD:SVAOB?OD:OB?16:9，所以SVAOD?54??96，而SVDOE?SVAOB?54，根据

93蝴蝶定理，SVBOE?SVAOD?SVAOB?SVDOE，所以SVBOE?54?54?96?30，

835所以SOECD?SVBDC?SVBOE?SVABD?SVBOE??54?96??30?119．

88

【例 23】 如图，?ABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相交于K点．已知正方形

DEFG的面积48，AK:KB?1:3，则?BKD的面积是多少？

DKBEAGDKAG

【解析】 由于DEFG是正方形，所以DA与BC平行，那么四边形ADBC是梯形．在梯形ADBC中，?BDK和

11而AK:KB?1:3，所以?ACK的面积是?ABC面积的那么?BDK?ACK的面积是相等的．?，

1?341的面积也是?ABC面积的．

4由于?ABC是等腰直角三角形，如果过A作BC的垂线，M为垂足，那么M是BC的中点，而且

FCBEMFCAM?DE，可见?ABM和?ACM的面积都等于正方形DEFG面积的一半，所以?ABC的面积与正

方形DEFG的面积相等，为48．

1那么?BDK的面积为48??12．

4

【例 24】 如图所示，ABCD是梯形，?ADE面积是1.8，?ABF的面积是9，?BCF的面积是27．那么阴

影?AEC面积是多少？

AEFDBC

精选

【解析】 根据梯形蝴蝶定理，可以得到S?AFB?S?DFC?S?AFD?S?BFC，而S?AFB?S?DFC(等积变换)，所以可得

S?S?CDF9?9S?AFD??AFB??3，

S?BFC27并且S?AEF?S?ADF?S?AED?3?1.8?1.2，而S?AFB:S?BFC?AF:FC?9:27?1:3， 所以阴影?AEC的面积是：S?AEC?S?AEF?4?1.2?4?4.8．

【例 25】

如图，正六边形面积为6，那么阴影部分面积为多少？

2124421

【解析】 连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半，根据六边形的特殊性质，和梯形蝴蝶定理把

88六边形分为十八份，阴影部分占了其中八份，所以阴影部分的面积?6?．

183

【例 26】 如图，已知D是BC中点，E是CD的中点，F是AC的中点．三角形ABC由①～⑥这6部分

组成，其中②比⑤多6平方厘米．那么三角形ABC的面积是多少平方厘米？

2A③①④F⑥②⑤B

【解析】 因为E是DC中点，F为AC中点，有AD?2FE且平行于AD，则四边形ADEF为梯形．在梯形

②×⑤=③×④，②：⑤=AD2： FE2=4．又已知②-⑤=6，所以⑤=6?(4?1)?2，ADEF中有③=④，

②=⑤?4?8，所以②×⑤=④×④=16，而③=④，所以③=④=4，梯形ADEF的面积为②、③、④、⑤四块图形的面积和，为8?4?4?2?18．有VCEF与VADC的面积比为CE平方与CD平方的比，

444即为1:4．所以VADC面积为梯形ADEF面积的=，即为18??24．因为D是BC中点，所以

4-133VABD与VADC的面积相等，而VABC的面积为VABD、VADC的面积和，即为24?24?48平方厘米．三角形ABC的面积为48平方厘米．

【例 27】 如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形的边平行，现在

分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为 ．

DEC

【解析】 本题中小正方形的位置不确定，所以可以通过取特殊值的方法来快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定

理来解决一般情况．

精选

解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，图中四个空白三角形的高均为1.5，因此空白处的总面积为6?1.5?2?4?2?2?22，阴影部分的面积为6?6?22?14．

解法二：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都为2，下底都为6，上底、下底之比为2:6?1:3，根据梯形蝴蝶定理，这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之

9比为12:1?3:1?3:32?1:3:3:9，所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的，阴影部分的面

1677积占该梯形面积的，所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的，那么阴影部分的面积为

16167?(62?22)?14． 16

【例 28】 如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC与CD上，且CE?2BE，CF?2DF，连接BF、

DE，相交于点G，过G作MN、PQ得到两个正方形MGQA和PCNG，设正方形MGQA的面积为

S1，正方形PCNG的面积为S2，则S1:S2?___________．

AQDFAQDFMGNMGN 【解析】 连接BD、EF．设正方形ABCD边长为3，则CE?CF?2，BE?DF?1，所以，EF2?22?22?8，

BD2?32?32?18．因为EF2?BD2?8?18?144?122，所以EF?BD?12．由梯形蝴蝶定理，得S△GEF:S△GBD:S△DGF:SnBGE?EF2:BD2:EF?BD:EF?BD?8:18:12:12?4:9:6:6，

BEPCBEPC669S梯形BDFE?S梯形BDFE．因为S△BCD?3?3?2?，S△CEF?2?2?2?2，

4?9?6?62525653所以S梯形BDFE?S△BCD?S△CEF?，所以，S△BGE???．

225253669由于△BGE底边BE上的高即为正方形PCNG的边长，所以CN??2?1?，ND?3??，

5555所以AM:CN?DN:CN?3:2，则S1:S2?AM2:CN2?9:4． 所以，S△BGE?

【例 29】 如下图，在梯形ABCD中，AB与CD平行，且CD?2AB，点E、F分别是AD和BC的中点，

已知阴影四边形EMFN的面积是54平方厘米，则梯形ABCD的面积是 平方厘米．

AEMBFEAMBFNDCDNC

【解析】 连接EF，可以把大梯形看成是两个小梯形叠放在一起，应用梯形蝴蝶定理，可以确定其中各个小

三角形之间的比例关系，应用比例即可求出梯形ABCD面积．

13设梯形ABCD的上底为a，总面积为S．则下底为2a，EF??a?2a??a．

22精选

33所以AB:EF?a:a?2:3，EF:DC?a:2a?3:4．

22由于梯形ABFE和梯形EFCD的高相等，所以

3??3??S梯形ABFE:S梯形EFCD??AB?EF?:?EF?DC???a?a?:?a?2a??5:7，

2??2??57故S梯形ABFE?S，S梯形EFCD?S．

1212根据梯形蝴蝶定理，梯形ABFE内各三角形的面积之比为22:2?3:2?3:32?4:6:6:9，所以

9953SVEMF?S梯形ABFE??S?S；

4?6?6?92512209973同理可得SVENF?S梯形EFCD??S?S，

9?12?12?16491228339所以SEMFN?SVEMF?SVENF?S?S?S，由于SEMFN?54平方厘米，

2028359所以S?54??210(平方厘米)．

35

【例 30】 (2006年“迎春杯”高年级组决赛)下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、

H分别是AB，BC，CD，DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简

m分数，那么，(m?n)的值等于 ．

nAHDAHDEGEG

【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面

积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积． 如下图所示，在左图中连接EG．设AG与DE的交点为M． 左图中AEGD为长方形，可知?AMD的面积为长方形AEGD面积的

BFCBFC1，所以三角形AMD的面积为411112???．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为

248111??4?． 82AHDAHDMEGENG

如上图所示，在右图中连接AC、EF．设AF、EC的交点为N．

精选

BFCBFC