小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型) 下载本文

ADADOO

BEC

BEC

11【解析】 解法一:连接DE,依题意SVAOB??BO?AO??9?AO?54,所以AO?12,

2211则SVAOD??DO?AO??16?12?96.

2213又因为SVAOB?SVDOE?54??16?OE,所以OE?6,

241133得SVBOE??BO?EO??9?6?30,

224835所以SOECD?SVBDC?SVBOE?SVABD?SVBOE??54?96??30?119.

8816 解法二:由于SVAOD:SVAOB?OD:OB?16:9,所以SVAOD?54??96,而SVDOE?SVAOB?54,根据

93蝴蝶定理,SVBOE?SVAOD?SVAOB?SVDOE,所以SVBOE?54?54?96?30,

835所以SOECD?SVBDC?SVBOE?SVABD?SVBOE??54?96??30?119.

88

【例 23】 如图,?ABC是等腰直角三角形,DEFG是正方形,线段AB与CD相交于K点.已知正方形

DEFG的面积48,AK:KB?1:3,则?BKD的面积是多少?

DKBEAGDKAG

【解析】 由于DEFG是正方形,所以DA与BC平行,那么四边形ADBC是梯形.在梯形ADBC中,?BDK和

11而AK:KB?1:3,所以?ACK的面积是?ABC面积的那么?BDK?ACK的面积是相等的.?,

1?341的面积也是?ABC面积的.

4由于?ABC是等腰直角三角形,如果过A作BC的垂线,M为垂足,那么M是BC的中点,而且

FCBEMFCAM?DE,可见?ABM和?ACM的面积都等于正方形DEFG面积的一半,所以?ABC的面积与正

方形DEFG的面积相等,为48.

1那么?BDK的面积为48??12.

4

【例 24】 如图所示,ABCD是梯形,?ADE面积是1.8,?ABF的面积是9,?BCF的面积是27.那么阴

影?AEC面积是多少?

AEFDBC

精选

【解析】 根据梯形蝴蝶定理,可以得到S?AFB?S?DFC?S?AFD?S?BFC,而S?AFB?S?DFC(等积变换),所以可得

S?S?CDF9?9S?AFD??AFB??3,

S?BFC27并且S?AEF?S?ADF?S?AED?3?1.8?1.2,而S?AFB:S?BFC?AF:FC?9:27?1:3, 所以阴影?AEC的面积是:S?AEC?S?AEF?4?1.2?4?4.8.

【例 25】

如图,正六边形面积为6,那么阴影部分面积为多少?

2124421

【解析】 连接阴影图形的长对角线,此时六边形被平分为两半,根据六边形的特殊性质,和梯形蝴蝶定理把

88六边形分为十八份,阴影部分占了其中八份,所以阴影部分的面积?6?.

183

【例 26】 如图,已知D是BC中点,E是CD的中点,F是AC的中点.三角形ABC由①~⑥这6部分

组成,其中②比⑤多6平方厘米.那么三角形ABC的面积是多少平方厘米?

2A③①④F⑥②⑤B

【解析】 因为E是DC中点,F为AC中点,有AD?2FE且平行于AD,则四边形ADEF为梯形.在梯形

②×⑤=③×④,②:⑤=AD2: FE2=4.又已知②-⑤=6,所以⑤=6?(4?1)?2,ADEF中有③=④,

②=⑤?4?8,所以②×⑤=④×④=16,而③=④,所以③=④=4,梯形ADEF的面积为②、③、④、⑤四块图形的面积和,为8?4?4?2?18.有VCEF与VADC的面积比为CE平方与CD平方的比,

444即为1:4.所以VADC面积为梯形ADEF面积的=,即为18??24.因为D是BC中点,所以

4-133VABD与VADC的面积相等,而VABC的面积为VABD、VADC的面积和,即为24?24?48平方厘米.三角形ABC的面积为48平方厘米.

【例 27】 如图,在一个边长为6的正方形中,放入一个边长为2的正方形,保持与原正方形的边平行,现在

分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点,形成了图中的阴影图形,那么阴影部分的面积为 .

DEC

【解析】 本题中小正方形的位置不确定,所以可以通过取特殊值的方法来快速求解,也可以采用梯形蝴蝶定

理来解决一般情况.

精选

解法一:取特殊值,使得两个正方形的中心相重合,如右图所示,图中四个空白三角形的高均为1.5,因此空白处的总面积为6?1.5?2?4?2?2?22,阴影部分的面积为6?6?22?14.

解法二:连接两个正方形的对应顶点,可以得到四个梯形,这四个梯形的上底都为2,下底都为6,上底、下底之比为2:6?1:3,根据梯形蝴蝶定理,这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之

9比为12:1?3:1?3:32?1:3:3:9,所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的,阴影部分的面

1677积占该梯形面积的,所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的,那么阴影部分的面积为

16167?(62?22)?14. 16

【例 28】 如图,在正方形ABCD中,E、F分别在BC与CD上,且CE?2BE,CF?2DF,连接BF、

DE,相交于点G,过G作MN、PQ得到两个正方形MGQA和PCNG,设正方形MGQA的面积为

S1,正方形PCNG的面积为S2,则S1:S2?___________.

AQDFAQDFMGNMGN 【解析】 连接BD、EF.设正方形ABCD边长为3,则CE?CF?2,BE?DF?1,所以,EF2?22?22?8,

BD2?32?32?18.因为EF2?BD2?8?18?144?122,所以EF?BD?12.由梯形蝴蝶定理,得S△GEF:S△GBD:S△DGF:SnBGE?EF2:BD2:EF?BD:EF?BD?8:18:12:12?4:9:6:6,

BEPCBEPC669S梯形BDFE?S梯形BDFE.因为S△BCD?3?3?2?,S△CEF?2?2?2?2,

4?9?6?62525653所以S梯形BDFE?S△BCD?S△CEF?,所以,S△BGE???.

225253669由于△BGE底边BE上的高即为正方形PCNG的边长,所以CN??2?1?,ND?3??,

5555所以AM:CN?DN:CN?3:2,则S1:S2?AM2:CN2?9:4. 所以,S△BGE?

【例 29】 如下图,在梯形ABCD中,AB与CD平行,且CD?2AB,点E、F分别是AD和BC的中点,

已知阴影四边形EMFN的面积是54平方厘米,则梯形ABCD的面积是 平方厘米.

AEMBFEAMBFNDCDNC

【解析】 连接EF,可以把大梯形看成是两个小梯形叠放在一起,应用梯形蝴蝶定理,可以确定其中各个小

三角形之间的比例关系,应用比例即可求出梯形ABCD面积.

13设梯形ABCD的上底为a,总面积为S.则下底为2a,EF??a?2a??a.

22精选

33所以AB:EF?a:a?2:3,EF:DC?a:2a?3:4.

22由于梯形ABFE和梯形EFCD的高相等,所以

3??3??S梯形ABFE:S梯形EFCD??AB?EF?:?EF?DC???a?a?:?a?2a??5:7,

2??2??57故S梯形ABFE?S,S梯形EFCD?S.

1212根据梯形蝴蝶定理,梯形ABFE内各三角形的面积之比为22:2?3:2?3:32?4:6:6:9,所以

9953SVEMF?S梯形ABFE??S?S;

4?6?6?92512209973同理可得SVENF?S梯形EFCD??S?S,

9?12?12?16491228339所以SEMFN?SVEMF?SVENF?S?S?S,由于SEMFN?54平方厘米,

2028359所以S?54??210(平方厘米).

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【例 30】 (2006年“迎春杯”高年级组决赛)下图中,四边形ABCD都是边长为1的正方形,E、F、G、

H分别是AB,BC,CD,DA的中点,如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简

m分数,那么,(m?n)的值等于 .

nAHDAHDEGEG

【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形,不方便直接求面积,观察发现两个图中的空白部分面

积都比较好求,所以可以先求出空白部分的面积,再求阴影部分的面积. 如下图所示,在左图中连接EG.设AG与DE的交点为M. 左图中AEGD为长方形,可知?AMD的面积为长方形AEGD面积的

BFCBFC1,所以三角形AMD的面积为411112???.又左图中四个空白三角形的面积是相等的,所以左图中阴影部分的面积为

248111??4?. 82AHDAHDMEGENG

如上图所示,在右图中连接AC、EF.设AF、EC的交点为N.

精选

BFCBFC