??10??10?11.设G=???01??,??0?1??,???????10???10????01??,??0?1???，证明G关于矩阵乘法构成一个群． ?????解：(1) ?x,y∈G, 易知xy∈G,乘法是Z上的代数运算。

(2) 矩阵乘法满足结合律

?10?(3)设??01??是单位元，

??(4)每个矩阵的逆元都是自己。 所以G关于矩阵乘法构成一个群．

14.设G为群，且存在a∈G,使得 G={ak∣k∈Z} 证明：G是交换群。

证明:?x,y∈G，设x?ak,y?al，则 xy?akal?ak?l??al?k?alak?yx 所以，G是交换群

17.设G为群，证明e为G中唯一的幂等元。

22?e0，即e0?e0e，由消去律知e0?e 证明:设e0?G也是幂等元，则e0

18.设G为群，a,b,c∈G,证明

∣abc∣=∣bca∣=∣cab∣ 证明：先证设(abc)k?e?(bca)k?e 设(abc)k?e,则(abc)(abc)(abc)?(abc)?e，

bc)(abc)?a(bc)aa?1?e 即 a(bc)(a左边同乘a?1，右边同乘a得

(bca)(bca)(bca)?(bca)?(bac)k?a?1ea?e

反过来，设(bac)?e,则(abc)?e.

kk由元素阶的定义知，∣abc∣=∣bca∣，同理∣bca∣=∣cab∣

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19.证明：偶数阶群G必含2阶元。

证明：设群G不含2阶元，?a?G，当a?e时，a是一阶元，当a?e时，a至少是3阶元,因为群G时有限阶的，所以a是有限阶的，设a是k阶的,则a?1也是k阶的，所以高于3阶的元成对出现的，G不含2阶元，G含唯一的1阶元e,这与群G是偶数阶的矛盾。所以，偶数阶群G必含2阶元

20.设G为非Abel群，证明G中存在非单位元a和b,a≠b,且ab=ba. 证明：先证明G含至少含3阶元。

若G只含1阶元,则G={e},G为Abel群矛盾；

若G除了1阶元e外,其余元a均为2阶元，则a2?e，a?1?a

?a,b?G,a?1?a,b?1?b,(ab)?1?ab,所以ab?a?1b?1?(ba)?1?ba，

与G为Abel群矛盾；

所以，G含至少含一个3阶元，设为a，则a?a2，且a2a?aa2。 令b?a2的证。

21.设G是Mn(R)上的加法群，n≥2，判断下述子集是否构成子群。 （1）全体对称矩阵 是子群 （2）全体对角矩阵 是子群

（3）全体行列式大于等于0的矩阵. 不是子群 （4）全体上（下）三角矩阵。 是子群

22.设G为群，a是G中给定元素，a的正规化子N（a）表示G中与a可交换的元素构成的集合，即

N（a）={x∣x∈G∧xa=ax} 证明N（a）构成G的子群。 证明：ea=ae,e?N(a)??

?x,y?N(a),则ax?xa,ay?ya

a(xy)?(ax)y?(xa)y?x(ay)?x(ya)?(xy)a,所以xy?N(a)

由ax?xa，得x?1axx?1?x?1xax?1,x?1ae?eax?1，即x?1a?ax?1，所以x?1?N(a) 所以N（a）构成G的子群

31.设?1是群G1到G2的同态，?2是G2到G3的同态，证明?1??2是G1到G3的同态。

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证明：有已知?1是G1到G2的函数，?2是G2到G3的函数，则?1·?2是G1到G3的函数。 ?a,b?G1,(?1??2)(ab)??2(?1(ab))??2(?1(a)?1(b)) ?(?2(?1(a)))(?2(?1(b)))?(?1??2)(a)(?1??2)(b) 所以:?1·?2是G1到G3的同态。

33.证明循环群一定是阿贝尔群，说明阿贝尔群是否一定为循环群，并证明你的结论。 证明：设G是循环群,令G=,?x,y?G,令x?ak,y?al,那么

xy?akal?ak?l?al?k?alak?yx,G是阿贝尔群

克莱因四元群,G?{e,a,b,c}

?eeabeabecccaabbccb eacbae是交换群,但不是循环群,因为e是一阶元，a,b,c是二阶元。 36.设?,?是5元置换，且

????21453??，????34512??

????(1)计算??,??,??1,??1,??1??； (2)将??,??1,??1??表成不交的轮换之积。

(3)将（2）中的置换表示成对换之积，并说明哪些为奇置换，哪些为偶置换。

?12345??12345??12345??12345??1?12345?????解：(1) ???? ???? ???????? 453214312545123???????1? ??1????????21534??54132??

?????12345??12345?(2) ???(1425) ??1?(14253) ??1???(143)(25) (3) ???(14)(12)(15) 奇置换， ??1?(14)(12)(15)(13) 偶置换 ??1???(14)(13)(25) 奇置换

第十四章部分课后习题参考答案

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5、设无向图G有10条边，3度与4度顶点各2个，其余顶点的度数均小于3，问G至少有多少个顶点？在最少顶点的情况下，写出度数列、?(G)、?(G)。 解：由握手定理图G的度数之和为：2?10?20

3度与4度顶点各2个，这4个顶点的度数之和为14度。 其余顶点的度数共有6度。

其余顶点的度数均小于3，欲使G的顶点最少，其余顶点的度数应都取2, 所以，G至少有7个顶点, 出度数列为3,3,4,4,2,2,2,?(G)?4,?(G)?2. 7、设有向图D的度数列为2，3，2，3，出度列为1，2，1，1，求D的入度列，并求?(D),?(D)，

??(D),??(D),??(D),??(D).

解：D的度数列为2，3，2，3，出度列为1，2，1，1，D的入度列为1,1,1,2.

?(D)?3,?(D)?2,??(D)?2,??(D)?1,??(D)?2,??(D)?1

8、设无向图中有6条边，3度与5度顶点各1个，其余顶点都是2度点，问该图有多少个顶点？

解：由握手定理图G的度数之和为：2?6?12

设2度点x个，则3?1?5?1?2x?12，x?2，该图有4个顶点.

14、下面给出的两个正整数数列中哪个是可图化的？对可图化的数列，试给出3种非同构的无向图，其中至少有两个时简单图。

(1) 2,2,3,3,4,4,5 (2) 2,2,2,2,3,3,4,4 解：(1) 2+2+3+3+4+4+5=23 是奇数，不可图化； (2) 2＋2+2+2+3+3+4+4=16, 是偶数，可图化；

18、设有3个4阶4条边的无向简单图G1、G2、G3，证明它们至少有两个是同构的。

证明：4阶4条边的无向简单图的顶点的最大度数为3，度数之和为8，因而度数列为2，2，2，2；3，2，2，1；3，3，1，1。但3，3，1，1对应的图不是简单图。所以从同构的观点看，4阶4条边的无向简单图只有两个：

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