⑥（q?t）?(t?q) ⑤ 置换 ⑦（t?q） ⑥化简
⑧q ②⑥ 假言推理 ⑨q?p 前提引入 ⑩p ⑧⑨假言推理
(11)p?q ⑧⑩合取
15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理： (1)前提：p?(q?r),s?p,q 结论：s?r 证明
①s 附加前提引入 ②s?p 前提引入 ③p ①②假言推理 ④p?(q?r) 前提引入 ⑤q?r ③④假言推理 ⑥q 前提引入 ⑦r ⑤⑥假言推理
16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：
(1)前提：p??q,?r?q,r??s 结论：?p 证明：
①p 结论的否定引入 ②p?﹁q 前提引入 ③﹁q ①②假言推理
5
④￢r?q 前提引入 ⑤￢r ④化简律 ⑥r?￢s 前提引入 ⑦r ⑥化简律 ⑧r?﹁r ⑤⑦ 合取
由于最后一步r?﹁r 是矛盾式,所以推理正确.
第四章部分课后习题参考答案
3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:
(1) 对于任意x,均有
2=(x+
)(x
).
(2) 存在x,使得x+5=9. 其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合. 解：
F(x):
2=(x+
)(x
).
G(x): x+5=9.
(1)在两个个体域中都解释为?xF(x)，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。 (2)在两个个体域中都解释为?xG(x)，在（a）(b)中均为真命题。
4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在北京卖菜的人不全是外地人. 解:
(1)F(x): x能表示成分数 H(x): x是有理数
命题符号化为: ??x(?F(x)?H(x)) (2)F(x): x是北京卖菜的人 H(x): x是外地人
命题符号化为: ??x(F(x)?H(x)) 5. 在一阶逻辑将下列命题符号化:
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(1) 火车都比轮船快.
(3) 不存在比所有火车都快的汽车. 解:
(1)F(x): x是火车; G(x): x是轮船; H(x,y): x比y快 命题符号化为: ?x?y((F(x)?G(y))?H(x,y))
(2) (1)F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快 命题符号化为: ??y(G(y)??x(F(x)?H(x,y))) 9.给定解释I如下:
(a) 个体域D为实数集合R. (b) D中特定元素=0.
(c) 特定函数(x,y)=xy,x,y?D.
(d) 特定谓词(x,y):x=y,(x,y):x 答:(1) 对于任意两个实数x,y,如果x (2) 对于任意两个实数x,y,如果x-y=0, 那么x （a） 个体域D=N(N为自然数集合). （b） D中特定元素=2. （c） D上函数 =x+y,(x,y)=xy. （d） D上谓词(x,y):x=y. 说明下列各式在I下的含义，并讨论其真值. (1) xF(g(x,a),x) (2) xy(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x) 答:(1) 对于任意自然数x, 都有2x=x, 真值0. (2) 对于任意两个自然数x,y,使得如果x+2=y, 那么y+2=x. 真值0. 11. 判断下列各式的类型: (1) 7 (3) yF(x,y). 解:(1)因为 p?(q?p)??p?(?q?p)?1 为永真式； 所以 为永真式； (3)取解释I个体域为全体实数 F(x,y)：x+y=5 所以,前件为任意实数x存在实数y使x+y=5，前件真； 后件为存在实数x对任意实数y都有x+y=5，后件假，] 此时为假命题 再取解释I个体域为自然数N， F(x,y)：:x+y=5 所以,前件为任意自然数x存在自然数y使x+y=5，前件假。此时为假命题。 此公式为非永真式的可满足式。 13. 给定下列各公式一个成真的解释，一个成假的解释。 (1) (F(x) (2) x(F(x)G(x)H(x)) 解:(1)个体域:本班同学 F(x)：x会吃饭, G(x)：x会睡觉.成真解释 F(x)：x是泰安人,G(x)：x是济南人.（2）成假解释 (2)个体域:泰山学院的学生 F(x)：x出生在山东,G(x):x出生在北京,H(x):x出生在江苏,成假解释. F(x)：x会吃饭,G(x)：x会睡觉,H(x)：x会呼吸. 成真解释. 第五章部分课后习题参考答案 5.给定解释Ｉ如下: (a)个体域D={3,4}; (b)f(x)为f(3)?4,f(4)?3 (c)F(x,y)为F(3,3)?F(4,4)?0,F(3,4)?F(4,3)?1. 试求下列公式在Ｉ下的真值. (1)?x?yF(x,y) 8