第九章振动

1、设一物体沿x轴作谐振动的方程为x?0.10cos(2?t?（1）振幅，周期，频率和初相x??，式中x，t的单位分别为m，s.试求：)4Acos(?t??)；（2）t?0.5s时，物体的位移、速度和加速度.

解：（1）谐振动的标准方程为，比较题中所给方程和标准方程，知振幅

A?0.10m，角频率

??2?rad/s周期为T，初相???4.由此，

?2???1s 频????1Hz率为2?

（2）t物体位移x?1s时，

???0.10cos(2??)?0.10cos(2??0.5?)m??7.07?10?2m

44dx??速度v???0.2?sin(2?t?)??0.2?sin(2??0.5?)m/s?0.44m/s

dt44dv??加速度a???4?2sin(2?t?)??4?2cos(2??0.5?)m/s2?28m/s2

dt44-2

2、有一弹簧，当其下端挂一质量为m的物体时，伸长量为9.8×10 m。若使物体上、下振动，并规定向

上为正方向。（1）当t=0时，物体在平衡位置下方4.0×10 m处，由静止开始向上运动，求运动方程。（2）当t=0时，物体在平衡位置并处以0.2m·s的速度向下运动，求运动方程。 解：（1）根据题给的条件，x0点）且

-1

-2

??4.0?10?2 m, v0?0（题取向上为正方向，且平衡位置处为原

A?4.0?10?2 m，其旋转矢量应为如图9-4-1图位置，所以?0?π。

km ，而 mg又???kx0,

M kg?所以

mx0 , ??9.8?10s?1 ?29.8?10o? x 9-4-1图

所以谐振动方程：x（2）据题意，得

?4.0?10?2cos(10t?π)m

t?0时，x0?0，v0??0.6 m.s?1，其旋转矢量应为如图9-4-2图位置则

v0M 0.22A?x?()?0?2?2?10?2m

?102022?0?1

π 2?0 x

（

x?0的投影有上、下两个OM矢量，但v0为负值，故只能选上面的OM矢量），所以谐振动

方程为xπ?4.0?10?2cos(10t?)m。

23、做简谐振动的物体，由平衡位置向x轴正方向运动，试问经过下列路程所需的最短时间各为周期的几分之几？

（1）由平衡位置到最大位移处；（用旋转式量方法） （2）由平衡位置到x?AA处；（3）由x?处到最大位移处。（用旋转式量方法） 22解 ：（1）作旋转矢量如图9-5-1图，

得????t?t?2π TO

M?

x

因为求的是最短时间，故取向下的

??

M

πt21旋转矢量，所以??

2πT4（2）如图9-5-2图

9-5-1图

???π??t t?1. （3）同理 ???π , t?1 6T63T124、某振动质点的

x?t曲线如9-6图所示，试求：

（1）振动的周期和初相；

（2）点P位置所对应的相位和时刻。 解（1）由曲线知，

t?0时 ，x0?0.05m=A2，作旋转矢量如图

ππ。由旋转矢量得，t1?4s时，?t1??0?

239-6-1图所示?0??ππ?23?5πs?1，所以运动周期为： T?2??9.6 s 。 所以???424（2）如图9-6-2图，?P所以 t?0，即 ?t??0??p?0

π248??s 。 35π5-2

-1

???0??5、质量为0.10kg的物体，以振幅1.0×10m作简谐运动，其最大速度为4.0m·s。

求：(1)振动的周期；(2)物体通过平衡位置时的总能量与动能；(3)物体在何处其动能和势能相等； (4)当物体的位移大小为振幅的一半时，动能、势能各占总能量的多少?

2

vmax2πA?2??T??2π?1.57?10v??A解:（1）max ，，所以s.

?vmaxA（2）此E?Ek?12（3）设在mvmax?0.8J

2m（4）

x0处EEp?p1212112?Ek，则kx0?mv??kA，

2222，

x0??2A??7.07?10?32121A21121kx?k()??kA?E222424Ek?E?Ep?3E。 4?0.05cos(20t?0.75π)m；

6、已知同方向、同频率的两简谐运动的运动方程分别为x1x2?0.06cos(20t?0.25π)m。

求：（1）合振动的振幅及初相；（2）若有另一同方向、同频率的简谐振动x3?0.07cos(10t??3)m，则

?3为多少时，x2?x3的振幅最大？又?3为多少时，x1?x3的振幅小？

解（1）作两个简谐运动合成的旋转矢量图（如9-11-1图），

因为????2??1???2，故合振动振幅为

A?2A12?A2?7.8?10?2m

合振相位??arctan(A1sin?1?A2sin?2)?arctan11?1.48radA1cos?1?A2cos?2)振幅最大，即两振动同相，则由

（2）使

x2?x3???2kπ得：

?3??2?2kπ?2kπ?0.25π，k?0,?1,?2,?, 要使x1?x3的振幅最小，即两振动反向，

则由???(2k?1)π得：?3??1?(2k?1)π?2kπ?1.75π，k?0,?1,?2,?

?11.0?10?2kg的子弹，以500m.s

8、如9-8图所示，质量为

的速度射人木块，并嵌在木块中，同时弹簧压缩从而作简谐运动。设木块的质量为4.99kg，弹簧的劲度系数为

8.0?103N·m?1，若以弹簧原长时物体所在处为坐标原点，

向左为

x轴正向，求简谐振动方程。

t?0时刻，弹簧原长处为原点，则

解：设子弹射入木块时为

3

x0?0，

?m1vv0???1.0m1?m2m.s

?1,由旋转矢量9-8-1图得

?0?π2,又

??k?40

m1?m2v0π)2?2.5?10?2 所以振动方程为x?2.5?10?2cos(40t?) ?22A?x0?(9、示波管的电子束受到两个相互垂直的电场的作用。电子在两个方向上的位移分别为

x?Acos?t和

y?Acos(?t??)。求在??0、??300及??900各种情况下，电子在荧光屏上的

轨迹方程。

解：这是两个振动方向互相垂直的同频率简谐运动的合成问题。合振动的轨迹方程为

x2y22xycos??2???sin??式中，A1、A2为两振动的振幅；??为两个振动22A1A2A1A2的初相差。本题中

A1?A2，????，故有x2?y2?2xycos???A2sin2?

（1）当

??0时，有x?y，轨迹为一直线方程。

，轨迹为椭圆方程。

2A220（2）当??30时，有x?y?3xy?42220x?y?A??90（3）当时，有，轨迹为圆方程。

第十章波动

1 . 一横波沿绳子传播时的波动表达式为

y?0.05cos(10πt?4πx)，x，y的单位为米，

（1）求此波的振幅、波速、频率和波长。（2）求绳子上各质点振动的最大速度和最大加速t的单位为秒。度。（3）求

x?0.2 m处的质点在t?1s时的相位，它是原点处质点在哪一时刻的相位？

tx?) 0.20.5解 （1）将题中绳波表达式y?0.05cos(10πt?4πx)?0.05cos2π(与一般波动表达式

y?Acos2π(tx?)比较，得振幅A?0.05 m，T?0.2s频率T?-1

??5 Hz，波长??0.5 m。波速u????0.5?5?2.5 m?s

（

2

）

绳

上

各

质

点

振

动

的

-1

最大速度

vmax??A?2π?A?2?3.14?5?0.05?1.57 m?s

4

绳上各质点振动时的最大加

速度

amax??2A?4π2?2A?4?3.142?52?0.05?49.3m?s

-

（3）将

x?0.2m，

t?1s代入

(10πt?4πx)得到所求相位

10π?1?4π?0.2?9.2π， x?0.2 m处质点的振动比原点处质点的振动在时间上

落后

x0.2??0.08u2.5s （

u????2.5m?s），所以它是原点处质点在

-1

t0?(1?0.08)?0.92s时的相位。

2.设有一平面简谐波 y?0.02cos2π(tx?) ， x，y以m计， t以s计。（1）求振0.010.3幅、波长、频率和波速。（2）求

x?0.1m处质点振动的初相位。

y?0.02cos2π(tx?)0.010.3与一般表式

解（1）将题设平面简谐波的表式

y?Acos2π(tx?)比较，可得振幅A?0.02 m，波长??0.3 m，周期T?0.01s。 T?-

11??100Hz ， 波速 u????0.3?100?30m·s 因此频率??T0.01（2）将

x?0.1m代入波动表式，得到位于该处的质点的振动表式

y?0.02cos2π(t0.12π2π?)?0.02cos(t?) 0.010.30.013因而该处质点振动的初相位?0??2π。 33. 有一平面简谐波在介质中传播，波速处一点P的运动方程为

u?10 m?s，已知沿传播方向距波源O（坐标原点）为5.0 m

-1

yP?0.30cos(2πt?π2)m，求波动方程。

解 波动方程要根据任意点的振动方程写出。取波动向为

x轴正方向（右向）传播, 如图Q点（距离o点

x）比P点晚振动(xQ?xP)u时间,所以波动方程可以写出为

xQ?xP10yQ?0.30cos[2π(t?x3?]m )?] ?0.30cos[2π(t?)?1022?5

Q点为任意一点，任意一点的运动方程即为波动方程。

O

P Q x 3题图

?0时的波形如图所示，且周期T?2s。（1）写出O4. 已知一沿x轴负方向传播的平面余弦波，在t点的振动表达式；（2）写出此波的波动表达式；（3）写出（4）Q点离O点的距离多大？ Q点的振动表达式；

解 （1）由图及题给条件知：

A?0.1m，

y0??A且22π???πs

T-1

。作原点的旋转矢量图

4题图

4题-1图

v0?0因为波动向x轴负方向传播，所以原点要跟随其

右方的质点进行运动，故应向上即向正方向运动，

2可得?0??π ，所以O点的振动表达式为

3（2）由题图可得

y0?0.10cos(πt?2π) m 3-1

?0.4?0.20 m?s?0.40 m ，u??T2?

波动向

x轴负向传播，所以波动表达式为

x2y?0.10cos[π(t?)?π]

u3?0.10cos[π(t?x2)?π] m（3）因不能直接求出xQ，所以不能由波动表达式求出Q点的振动0.23表达式。可由图线判断出Q点的初相，再用振动表达式的标准形式写出Q点的振动方程。 据题给图线，

可作出Q点的旋转矢量（如图），可得Q点的初相位是，其振动表达式为

πyQ?0.10cos(πt?)m 。

22)?π] m （4）根据波动方程可写出Q点的振动表达式为yQ?0.10cos[π(t?0.23?t?与yQ?0.10cos[?2]m比较得xQ?0.233 m 。

xQ 4题-2图 y 6

5.一平面波在介质中以速度

u?20m·s

-1

沿

x轴负方向传播，如图所示，已知a点的振动方程为

u

a

ya?3cos4πt，t的单位为秒，y的单位为米。求：（1）以a为坐标原

点写出波动方程。（2）以距

a点5m处的b

b 5题图

点为坐标原点，写出波动方程。

xay?3cos4π(t?)m 解（1）以点为坐标原点的波动方程为

20（2）以

a点为坐标原点时，b点的坐标为x??5m，代入上式，得b点的振动方程为

yb?3cos4π(t?5)?3cos(4πt?π)m 20x)?π]m。 20若以

b点为坐标原点，则波动方程y?3cos[4π(t?6.图示为平面简谐波在

t?0时的波形图，设此简谐波的频率为200 Hz，且图中质点P的运动方向向

上。求：（1）该波的波动方程；（2）在距原点O为7.5 m处质点的运动方程与

t?0时该点的振动速度。

m，

解（1）由P的运动方向可知：该波动向x轴负向传播。且：

A?0.10??20-1

m，

?0?π3，

u????4?103m?s

所以

y?0.10co4s0[π0(t?xπ)?]40003

（2）

6题图

y?0.10cos[400π(t?5π)?] 40003?0.10cos(400πt?5π) M， v?dy??(400π?0.10)sin5π??62.8m?s

dtt?066-1

-1

。

7.波源作简谐运动，周期为0.2 s，若该振动以10m?s的速度沿直线传播，设

t?0时，波源处的质点

经平衡位置向负方向运动，求：（1）距波源5.0 m处质点的运动方程和初相；（2）距波源为16.0 m和17.0 m的两质点间的相位差。

解 需先写出波动方程。由题给条件可知T?0.2 s，u?10 m?s

-1

，?0?1π 2 取传播方向为

x轴正向，

7

2πxx1y?Acos[(t?)??0]?Acos[10π(t?)?π] m

Tu102（1）x?5 m处质点的振动方程为

y?Acos(10πt?4.5π)?Acos(10πt?0.5π) m初相 ?0??0.5π。

（2）???2π(x2?x1)??2π(17?16)u?T?π。

8.如题图所示，设B点发出的平面横波沿BP方向传播，它在B点的振动方

y1?2?10?3cos2?t;C点发出的平面横波沿CP方向传播，它在C点的振动方程为

y2?2?10?3cos(2?t??)，本题中y以m计，t以s计．设BP＝0.4m，CP＝0.5 m，波速

u=0.2m·s

-1

，求：(1)两波传到P点时的位相差；(2)当这两列波的振动方向相同时，P处合振动的振幅；

8题图

解: (1)??

?(?2??1)?2??(CP?BP)????u(CP?BP)???2?(0.5?0.4)?0，

0.2(2）P点是相长干涉，且振动方向相同，所以

AP?A1?A2?4?10?3m

A且初相相同的

9.如图所示，两相干波源分别在P，Q两点处，它们发出频率为?，波长为?，振幅为两列相干波。设PQ?3?2，R为PQ连线上的一点。求：（1）自P，Q发出的两列波在R处的相

位差及合振幅；（2）P，Q连线之间因干涉而静止的点。 解（1）

????P??Q?2π?rP?rQ?3??0?2π?2??3π

9题图

?所以

A?0。

'（2） 设此点距P为

x，则距Q为 (

x?(3??x),该点相位差为2????P??Q?2π?8

rP?rQ? ?0?2?3??x)32x2?2?(?)

?2?

1?k?。 干涉静止，则 ???(2k?1)?，即 x?2,?1,?2，可分别得x?取k?0,1?3,0,?,?。这些点即为干涉静止点。 2210.两波在同一细绳上传播，它们的方程分别为

y1?0.06cos(πx?4πt)m和

y2?0.06cos(πx?4πt)m。（1）证明这细绳是作驻波式振动，并求波节和波腹的位置；（2）波

腹处的振幅多大？在

x?1.2m处，振幅多大？

解 将

y1的方程改写为：y1?0.06cos[?(4πt?πx)]?0.06cos(4πt?πx) m这样y1，

y2便为在x方向上沿相反方向传播的相干波源，其合成结果即为驻波。

且从方程可知

??4π，

?u?π， 所以??u??2m。

2π（1）波节：x??(2k?1)??4??(k?0.5)m k?0,1,2,?

波腹：

x??k??2??km k?0,1,2,?

x（2）波腹处：

A?2Acos2π???2?0.06cos2π?k?0.12m 2m。

x?0.12m处，A?2?0.06cos2π?11.一平面简谐波的频率为500 Hz，在空气（?0.12?0.0972-3

?1.3 kg?m

）中以

u?340 m?s

-1

的速度传播，到达

人耳时，振幅约为

A?1.0?10?6m。试求波在耳中的平均能量密度和声强。

-2

解 w?122?A??2π2?A2?2?6.42?10?6 J?m2，I?w?u?2.18?10?3 w?m

-2

。

12.一把小提琴演奏时的声强级为60dB，两把小提琴演奏时的声强级为多少？声强为多少？ 解 设一把小提琴演奏时的声强为I1，对应的声强级为L1?10log10I1?60dB I0则 I1?I010L110?10?12?106?10?6W.m?2两把小提琴演奏时的声强为2I1，对应的声强级为

9

L2?10log102I1?10lg2?L1?63dB. I0第十一章光学

1、在双缝干涉实验中，两缝间距为0.30mm，用单色光垂直照射双缝，在离缝1.20m的屏上测得中央明纹一侧第

5条暗纹与另一侧第5条暗纹间的距离为22.78mm，问所用光的波长为多少？

d'?(2k?1) (k?0,1,2,???) 解：双缝干涉暗纹条件x??d2中央明纹一侧第

5条暗纹对应于k?4，由于条纹对称，该暗纹到中央明纹中心的距离为

x?22.78?11.39mm那么由暗纹公式即可求得 22xd2?11.39?10?3?0.30?10?3??'??6.328?10?7m?632.8nm

d(2k?1)1.20?(2?4?1)2、用白光垂直入射到间距为d?0.25mm的双缝上，距离缝1.0m处放置屏幕，求零级明纹同侧第二

级干涉条纹中紫光和红光中心的间距（白光的波长范围是400~760nm）。

d'? (k?0,?1,?2,???) 解：第k级明纹位置应满足x?kd对紫光和红光分别取?1?400nm，?2?760nm；则同侧第二级条纹的间距

d'1.0?103?x?k(?2??1)?2??(760?400)?10?6?2.88mm

d0.253、用

n?1.58的透明云母片覆盖杨氏双缝干涉装置的一条缝，若此时屏中心为第五级亮条纹中心，设

光源波长为0.55μm，（1）求云母片厚度。（2）若双缝相距0.60mm，屏与狭缝的距离为求0级亮纹中心所在的位置。

解：（1）由于云母片覆盖一缝，使得屏中心处的光程差变为?质片光程变化(n?1)e。所以

2.5m，

?5?，一条光路中插入厚度为e的透明介

??(n?1)e?5?

解得云母片厚度e?D?2.5?0.555?5?0.55??2.29mm, ??4.74μm（2）因为?x?d0.60n?11.58?15级明纹中心，故

又由于中心位置为

0级条纹距中心为

5倍条纹宽度，所以

x5?5?x?5?2.29?11.45mm

4、如图所示，在折射率为

1.50的平板玻璃表面有一层厚度为300nm，折射率为1.22的厚度均匀透明

油膜，用白光垂直射向油膜，问：（1）哪些波长的可见光在反射光中干涉加强?（2）若要使透射光中

10

??550nm的光干涉加强，油膜的最小厚度为多少?

解：(1)因反射光的反射条件相同(n1波损失，由垂直入射

?n2?n3)，故不计半

i?0，得反射光干涉加强的条件为

??2n2d?k?, k?1,2,3?

2n2d由上式可得：??k , k?1时： ?1?2?1.22?300?732nm 红光

12?1.22?300?366nm 紫外, 故反射中波长为732nm的红光产生干k?2时： ?2?2涉加强。(2)由反射光干涉相消条件为： ??2n2d??2k＋1?, k?0,1,2,?

2??550?2k?1??d??故d?, 显然k=0所产生对应的厚度最小，即min4n24n24?1.22?113nm

5、如下图所示，在生产半导体中，有时为了测定硅片上的SiO2的薄膜厚度，将薄膜一侧腐蚀成劈尖形状。现用波长为589.3nm的钠黄光垂直照射到SiO2薄膜表面上，结果在垂直方向上观察到MN面的反射光干涉条纹有七条暗纹，且第七条位于N处，试求薄膜的厚度。

? 空气 n1?1.0 SiO2 n2?1.5 Si n3?3.4 N M 解：根据题意，可知SiO2薄膜表面上的暗纹条件为2n2e?(2k?1)?2 (k?0,1,2,???)

因第七条暗纹的k?6则有e?2k?12?6?1???589.3?1276.8nm 4n24?1.56、在利用牛顿环测未知单色光波长的实验中，当用已知波长为589.3nm的钠黄光垂直照射时，测得第一和第四暗环的距离为?r?4.00?10?3m；当用波长未知的单色光垂直照射时，测得第一和第四环的

11

距离为?r'?3.85?10?3m，求该单色光的波长。

解：牛顿环干涉的暗环半径所以kr?kR? (k?0,1,2,???)

?1和k?4时，所对应的干涉暗环半径分别为 r1?R?R?， 4r?2R??'

由题意知：它们之间的距离

?r?r4?r1?R?'，设未知光的波长为,由分析得

?r?'?r'?R?, 所以

?r'?'??R?，故可解得未知波长

?'?546nm

7、如图所示，狭缝的宽度b?0.60mm，透镜焦距f?0.40m，有一与狭缝平行的屏放置在透镜

的焦平面处。若以单色平行光垂直照射狭缝，则在屏上离点O为x试求：（1）该入射光的波长；（2）点半波带的数目。

解：（1）由单缝衍射的明纹条件有bsin??1.4mm处的点P看到衍射明条纹。

P条纹的级数；（3）从点P看对该光波而言，狭缝处的波阵面可作

??2k?1??2，对点P而言，因为

xf>>b有sin??f，

所以有bx??(2k?1)f2，将

b，x，f值代入，并考虑可见光波的上下限值有

?min因为

?400nm时 kmax?4.75， ?man?760nm时kmix?2.27

k只能取整数值，故在可见光范围内只允许有k?3和k?4，它们所对应的入射光波分别为

屏 L P x b L?1?600nm， ?2?466.7nm

（2）点P的条纹级数随入射光的波长而定， 当

?1?600nm时， k?3； ?2?466.7nm时， k?4。

?600nm时，k?O 当

f（3）当?1当?2?3，半波带数目为2k?1?7； ?466.7nm时，k?4，半波带数为2k?1?9。

8、一单色平行光垂直照射于一单缝,若其第三条明纹位置正好和波长为600nm的单色光入射时的第二级明纹位置一样，求前一种单色光的波长。 解：

对于同一观察点，两次衍射的光程差相同，由于明纹条件

12

bsin???2k?1??，故有?2k?1????2k?1??

11222由以上分析，将

?2?600nm，

k1?3，

k2?2代入即可求出未知的波长

?1??2k2?1??22k1?1?(2?2?1)?600?428.6nm

2?3?19、有一单缝，宽a?0.10mm，在缝后放一焦距为50cm的会聚透镜，用平行绿光（??546.0nm）

垂直照射单缝，试求位于透镜焦面处的屏幕上的中央明条纹及第二级明纹宽度。 解：设屏上第k级暗纹的位置为

x。由单缝衍射的暗纹条件bsin??k?

，即

x??又因?很小，有sinf?x0?x1?x?1?2bx?k?f，

k??1时，对应的中央明纹宽度

f50?10??2??546.0?10?6?5.46mm a0.10第k级明纹宽度?xk?xk?1?xk?(k?1)fff??k??? aaa可见，各级明纹宽度相等，与

k无关。并且，中央明纹宽度为其它明纹宽度的两倍。所以，第二级明纹宽

度为?x2?f50?10???546.0?10?6?2.73mm a0.1010、在迎面驶来的汽车上，两盏前灯相距120cm。试问汽车离人多远的地方，眼睛恰可分辨这两盏前灯？设夜间人眼瞳孔直径为5.0mm，入射光波长?解：已知瞳孔直径D?5.0mm，??550nm。（这里仅考虑人眼圆形瞳孔的衍射效应。）

?D

?550nm。人眼的最小分辨角?0?1.22汽车两盏前灯间距l?120cm，当车与人相距为d时，两盏灯对人眼的张角??ld

当???0时，人眼恰可分辨这两盏灯。由得恰可分辨两盏车灯的距离为

l??1.22dD

Dl5.0?10?3?1.203d???8.94?10m

1.22?1.22?550?10?911、波长为

?的单色光垂直入射到每厘米有6000条刻痕的光栅上，测得第1级谱线的衍射角为20o，求

（1）单色光波长；（2）第

2级谱线的衍射角。

13

解： （1）每厘米6000条刻痕即光栅常数为(b?b?)?11cm?mm 6000600由已知(b?b?)sin?1??， 得??（2）由(b1?106sin20o?570nm 600?b?)sin?2?2?

???2?570?o??arcsin得2?1??arcsin0.684?43.16

??106??600?12、利用一个每厘米有4000条缝的光栅，可以产生多少完整的可见光谱（取可见光的波长范围：

400~760nm）？

解：此光栅的光栅常数

(b?b?)?1cm?2.5?10?6mm

4000按光栅公式(b?b?)sin??k?， 光谱线的最高级别sin??1，即k?比，因此，完整的可见光谱的最高级别

b?b??，它与波长成反

k?b?b??m2.5?10?6?3.29 ，取?m?760nm所以，k??9760?10取整数，

k?3，即可以产生三级完整的可见光谱。

o13、已知某透明媒质对空气全反射的临界角等于45，求光从空气射向此媒质时的布儒斯特角。 解：由题意知全反射临界角i0?45o，只有当

n2?n1时才会有全反射。有折射定律

，设布儒斯特B，由布儒斯特定律：

n2sin90o1n2sini0?n1sin90， ??n1sini0sini0oitaniB?n21?n1sini0， iB?arctan(11o)?arctan?54.7 sini0sin45o14、一束自然光，以某一角度射到平行平面玻璃板上，反射光恰为线偏振光，且折射光的折射角为32o，试求：（1）自然光的入射角；（2）玻璃的折射率；（3）玻璃板表面的反射光、折射光的偏振状态。 解：（1）由布儒斯特定律知，反射光为线偏振光时，反射光与折射光垂直，即：iB所以自然光的入射角为B?r?90o

i?90o?r?58o

?n2n1，

（2）根据布儒斯特定律taniB14

其中n1?1，因此玻璃折射率为n2?n1taniB?tan58o?1.6

（3）自然光以布儒斯特角入射介质面，反射光为光振动方向垂直入射面的线偏振光；折射光是光振动平行入射面部分强的部分偏振光。

15、自然光垂直射到互相叠放的两个偏振片上，若（1）透射光强为透射光最大光强的三分之一；（2）透射光强为入射光强的三分之一；则这两个偏振片的偏振化方向的夹角为多少？ 解：设自然光的光强为I0，通过第一个偏振片以后，光强为I0为I02，因此通过第二个偏振片后的最大光强

， 解得

2。根据题意和马吕斯定律有（1）I0cos2??1I0232， 解得?＝?3516?

o?＝?54o44?

I0I02cos??（2）23（3）16、使自然光通过两个偏振化方向相交60的偏振片，透射光强为I1，今在这两个偏振片之间插入

o另一偏振片，它的方向与前两个偏振片均成30角，则透射光强为多少？ 解：设自然光的光强为I0，通过第一个偏振片以后，光强为I0o2，则通过第二个偏振片后光的强度

I1?I0I1cos2??0cos260??I0， 在两偏振片之间插入第三个偏振片后，则通过第三偏振片228的光的强度I2?I0I9cos2??cos2???0cos230?cos230??I0 2232因此两式相比得I2?2.25I1

第十二章气体动理论

12-1 温度为0℃和100℃时理想气体分子的平均平动动能各为多少？欲使分子的平均平动动能等于1eV,气体的温度需多高？

3kT1解：?1?2由于1eV=1.6×10＝5.65×10?21J，

?2?3kT2＝7.72×10?21J

2?19J , 所以理想气体对应的温度为：T=2?/3k=7.73×103 K

12-2一容器中储有氧气，其压强为0.1个标准大气压，温度为27℃，求：(1)氧气分子的数密度n；(2)氧气密度

?；(3)氧气分子的平均平动动能εk？

p0.1?1.013?10524??2.45?10p?nkT得，n?m?3 ?23kT1.38?10?300MRTMmol (M，

(1)由气体状态方程

(2)由气体状态方程

pV?Mmol分别为氧气质量和摩尔质量) 得氧气密度：

15

Mmolp0.032?0.1?1.013?105M?????0.13 kg?m?3 VRT8.31?300kT??1.38?10?23?300?6.21?10?21 (3) 氧气分子的平均平动动能?k?m3的容器中，有内能为6.75×102J的刚性双原子理想气体分子，求（1）气

22体的压强；（2）设分子总数5.4×10个，求气体温度；（3）气体分子的平均平动动能？

12-3 在容积为2.0×10?33232miRT 解：（1）由??M2（2）分子数密度n?m2?pV?RTp 以及, 可得气体压强=

MiV, 得该气体的温度T=1.35×10 Pa

5NV?ppV??3.62×102K nkNk(3)气体分子的平均平动动能为

???33kT=7.49×10?21J 2m的容器内，当容器内的压强为3.90?10Pa时，氢气分子

3

12-4 2.0?10?2kg氢气装在4.0?105的平均平动动能为多大？

解：由

pV?MpVmRT得 T?mRM

kT?k?所以??3232MpV?3.89?10?22J

mR12-5 1mol刚性双原子气体分子氢气，其温度为27℃，求其对应的平动动能、转动动能和内能各是多少?（求内能时可不考虑原子间势能）

iE?nRT，所以氢气对应的平动动能为（t解：理想气体分子的能量为

2 ?t?3）

3?1??8.31?300?3739.5J

2转动动能为（

r?2） ?r?1??8.31?300?2493J

225内能i?5 ?i?1??8.31?300?6232.5 J

212-6 设有N个粒子的系统，其速率分布如图所示，求：(1)分布函数

f(v)的表达式； (2)速度

在1.50到2.0v0之间的粒子数；(3) N个粒子的平均速率；(4) 0.5v0到1v0区间内粒子的平均速率？ 解：(1)从上图所给条件得：

v16

?Nf(v)?av/v0??Nf(v)?a?Nf(v)?0?(0?v?v0)(v0?v?2v0) (v?2v0)由此可得分布函数表达式为：

?av/Nv0?f(v)??a/N?0?(0?v?v0)(v0?v?2v0) (v?2v0)f(v)满足

类似于概率密度的归一化条件，故

?????f(v)dv＝1,即

?v002v0av2Ndv??adv?1,计算得a?v0v03v0，带入上式得分布函数

f(v)为：

?2v/3v02??2f(v)???3v0?0?(0?v?v0)(v0?v?2v0) (v?2v0)，所以可通过计算矩形面积得该区间粒子数为：

(2)该区间对应的

f(v)为常数

2N3v0 ?N?2N1(2v0?1.5v0)?N 3v03?v02v02v2v211dv?dvv0 ?2?v093v03v0(3) N个粒子平均速率

v??????vf(v)dv??vf(v)dv??00(4)同理0.5v0到1v0区间内粒子平均速率

v0v??0.5v072v2v0 vf(v)dv??dv=20.5v0363v0v012-7 设N个粒子系统在各速率区间对应的粒子数变化率为：

dN?Kdv （V?v?0,K为常量），dN?0 （v?V）

（1） 画出速率分布函数图；（2）用N和V表示常量K；（3）用V表示出平均速率和方均根速率。 解：（1）因为dN?Kdv 所以有：f(v)?dNK?N?dvN （

V?v?0）

f(v)?0 （v?V）故速率函数分布图如右图所示。

（2） 由归一化条件：

f(v) 17

K N

?????f(v)dv??V0V0Kdv?1可得：K?N NVKN（3v??vf(v)dv?V2?1V0vdv?K121?V?VN22

v?(?vf(v)dv)022K13123?(V)?VN338

12-8 某些恒星的温度可达到约1.0?10k，这是发生聚变反应（也称热核反应）所需的温度。通常在此温度下恒星可视为由质子组成。求：（1）质子的平均动能是多少？（2）质子的方均根速率为多大？ 解：（1）??3kT?2.07?10?15J （质子i=3, 只有平动动能） 2（2）

v2?3RT3kT??1.58?106m.s?1（质子质量为1.675?10?27kg） Mm12-9、图中Ⅰ、Ⅱ两条曲线是两种不同气体（氢气和氧气）在同一温度下的麦克斯韦分子速率分布曲线。试由图中数据求：（1）氢气分子和氧气分子的

最概然速率；（2）两种气体所处的温度。解：（1）

vP?2RTM温度相同时，

vP与M成反比

∵MH2?Mo2,∴(vP)H2?(vP)o2. 故从图

知，Ⅱ图线对应的vP值应为氢气的。

∴

(vP)H2?2.0?103m.s

-1,

又由

MO2MH2?16可得：(vP)O2?12(v P)H2?5?10m.s4-1

（2）氢气、氧气温度相同。所以，由v?P2RT得

MMH2MT?v??(vP)H2??4.81?102K

2R2R2P12-10一瓶氧气，一瓶氢气，等压、等温，氧气体积是氢气的2倍，求(1)氧气和氢气分子数密度之比；(2)氧分子和氢分子的平均速率之比． 解：(1)因为 p?nkT 则

nO?1 nHRTMmol?8(2)由平均速率公式v?1.60,

vO?vHMmolH1?

MmolO4212-11若氖气分子的有效直径为2.59?10的平均碰撞次数为多少？

cm,问在温度为600K、压强为1.33?10Pa时氖气分子1s内

18

解：Z?2?d2nv?2?d2(p8RT)?3.81?106s?1 kT?M?312-12一真空管的真空度约为1.38?10(设分子的有效直径d＝3×10解：由气体状态方程

-10

Pa，试求在27℃时单位体积中的分子数及分子的平均自由程

m)．

p?nkT得

p1.38?10?3?317mn???3.33?10

kT1.38?1023?300由平均自由程公式 ??12?dn2，

??12??9?10?20?3.33?1017?7.5 m

2第十三章热力学 1、一定质量的双原子分子理想气体，其体积和压强按PV?a的规律变化，其中a为已知常数，当气体V1由膨胀到V2试求，（1）在膨胀过程中气体所做的功是多少？（2）内能的变化是多少？（3）理想气体吸收的热量是多少？(摩尔热熔为：Cv?2.5R) V2V2解：（1）根据功的定义可得：W??PdV??V1V1a11dV?a(?) V2V1V22(2) ?E?nCv(T2?T1)?2.5Rn(T2?T1)?2.5(P2V2?P1V1),,又因为PV?2.5a(?a， 所以：?E1111?)（3）由热力学第一定律得：Q??E?W?1.5a(?) V2V1V2V152、一定量的氢气在保持压强为4.0?10了6.0?104Pa不变的情况下，温度由00C升高到500C，这个过程吸收J的热量。（Cpm?3.5R;Cvm?2.5R）则，(1)氢气的物质的量是多少？（2）氢气的内能是多少？（3）氢气对外做了多少功？（4）如果氢气的体积保持不变而温度发生了同样的变化，则氢气吸收了多少热量？ 解：（1）由Q??Cpm?T得：??Q?41.3mol.（2）由?E??Cvm?T得：Cpm?T?E??Cvm?T?41.3?8.31?50?2.5J?4.29?104J (3)由热力学第一定律得：W(4)由热力学第一定律得：019

?Q??E?1.71?104J 4?Q??E，所以有：Q??E?4.29?10J

3、理想气体做绝热膨胀，由初状态

?p0,V0?至末状态?p,V?，试证明此过程中气体做的功为：

W?mp0V0?pV。证明：绝热过程Q?0，所以W???E，W??CV,m(T?T0)，

M??1初状态和末状态的方程分别为：P0V0?mRT0，PV?mRT，解出T0与T代入WMM有：

W?CV,m(p0V0?pV)R

，又因为

R?Cp,m?CV,m，

??Cp,mCV,m，所以，

p0V0?pVW???1处水温约为504、有可能利用表层海水和深层海水的温差来制成热机。已知热带海水区域的标称水温是250C，300m深C。则：在这两个温度之间工作的热机的效率是多少？ 解：??1?T2273?5?1??6.7% T1273?2505、一台冰箱工作的时候，其冷冻室中的温度为-10则此制冷机每消耗103C，室温为150C。若按照理想卡诺制冷循环理论，J的功，可以从冷冻室中吸收多少热量？ T2解：由公式e?T1?T2又由公式e?T2273?10263???10.5 得：e?T1?T2(273?15)?(273?10)25?We?1.05?104J QW得：Q6、一定质量的气体，在被压缩的过程中外界对气体做功300J，但这一过程中气体的内能减少了300J，问气体在此过程中是吸热还是放热？吸收或放出的热量是多少？ 解：

∵外界对物体做功 ∴W=300J ∵气体的内能减少了 ∴△U=-300J 根据热力学第一定律 得

Q=△U - W=-300J – 300J= -600J Q是负值，表示气体放热，

因此气体放出了600J的热量。

7．奥托（内燃机）循环是由两个等容过程和两个绝热过程组成的，试求此循的热机效率是多少？ 解：Q吸??CV(Ta?Td) Q放??CV(Tb?Tc)

Q放W??=1?Q吸Q吸20

Tb?Tc， =1?Ta?Td，

ab：TVa??1a?TbVb??1，

dc：TdVd??1?TcVc??1

，

TaTb?TdTc，

Ta?TdTb?Tc?TdTc

Tb?TcTc?Ta?TdTdTcVd??11?()?Vc??1TdVc()VdVc??令Vd：压缩比

，

??1?1???1，

??，??

8．逆向斯特林循环是由两个等容过程和两个等温过程组成的，则逆向斯特林循环的致冷系数是多少？ 解：

W??RT1lnVaV??RT2lndVbVc T1

a

Vd???RT2lnQ吸Vc

Vd?RT2lnVc?Q吸e?=

W?RTlnVa??RTlnVd12VbVc，e?T2T1?T2

9．一定质量的氧气经历以下两个过程

（1）（2）

????

??m???

求：两个过程中的

A、?E、Q

解：（1）

????

21

1A??(5?20)?(50?10)??1.013?105?10?3=?50650J 2i?E??R(T2?T1)=i(P2V2?P1V1) 22 =5?(20?10?5?50)?1.013?105?10?3??12662.5J2 Q??E?A=?63312.5J （2） A??20?(50?10)?1.013?105?10?3??81040J ?E??12662.5J， Q??E?A=?93702.5J 10 2 mol 单原子分子的理想气体,开始时处于压强p1 = 10atm、温度T1 = 400K的平衡态,后经过一个绝热过程,压强变为p2 = 2atm,求在此过程中气体对外作的功. 解：绝热 Q=0

－1－

因p?T?= 恒量,有

T2=(p2/p1)?? T1

故 A=－?E=(M/Mmol)(i/2)R(T1－T2)

(-1)/

=(M/Mmol)(i/2)RT1[1－(p2/p1)??]

3

=4.74?10J

(－1)/

p (atm) 6 b 11. 汽缸内贮有36g水蒸汽(水蒸汽视为刚性分子理想气体),经abcda循环过程,如图4.9所示.其中

a－b、c－d为等容过程,b－c为等温过程,d－a为

c 2 0 a d V(L) 25 50 等压过程.试求:

(1) Ada = ？ (2) Eab =？

(3) 循环过程水蒸汽作的净功 A =？ (4) 循环效率?是多少？

－3

解：（1）Ada=pa(Va－Vd)= －5.065?10J

图4.9 （2） ?Eab=(M/Mmol)(i/2)R(Tb-Ta)= (i/2)(pb－

4

pa)Va=3.039?10J 43

（3） Abc=(M/Mmol)RTbln(Vc/Vb)=pbVbln(Vc/Vb)=1.05?10J A=Abc+Ada=5.47?10J

4

（4）Q1=Qab+Qbc=?Eab+Abc=4.09?10J ，

?=A/Q1=13.4% 12、如图（a）是某理想气体循环过程的V容CV?T图。已知该气体的定压摩尔热容CP?2.5R，定体摩尔热

（1）图中所示循环?1.5R，且VC?2VA。试问：

是代表致冷机还是热机？（2）如是正循环（热机循环），求出循环效率。

解：只有在P?V图上，才能从其循环的方向判断出是热机还是致冷机，所以需先把V?T图转化为P?V图。

CA为等温过程，（1）如图，而ABBC为等体过程，

22

为V与T的正比过程，即：V?KT。据状态方程V?mRTMP，故

AB过程应为等压膨胀过程（若直

线不过原点，就不是等压过程）。由此可得V环为顺时针，故此循环为热机。

（2）QAB?T图转换为如图（b）所示的P?V图。此图的ABCA循

?mCP(TB?TA) MmRTB M 而PVB?mTBVBVCmCP?TA ???2 ∴QAB?RTA, ∴ PVA?MMTAVAVAQBC?mmmCV(TC?TB)?CV(TA?TB)??CV?TAMMM

QCA?WCA?Vmm1mRTAlnA?RTAln??RTAln2 ∴Q1?QAB MVCM2M热机效率为：

Q2?QBC?QCAm(CV?TA?RTAln2)Q2M??1??1??12.3%

mQ1CP?TAM13、1mol理想气体从状态A(P1,V1)变化至状态B(P2,V2)，其变化的P?V图线如图所示。若已知定容

摩尔热容为

5，求：

（1）气体内能增量；（2）气体对外做功； R2（3）气体吸收的热量。 解：（1）?E?PVmCV(T2?T1), 而T1?11RM，T2?P2V2R p P2 P1 O A v B ∴?E?PVPVm5CV(22?11)?(P2V2?P1V1) MRR2(P?P2)(V2?V1)（2）用图形面积求。 W?1

2又：

V1 V2 P1?KV1，P2?KV2 （P，V为直线关系）

∴

P1V2?KV1?V2?P2V1 ∴W?P1V2?P2V2?P1V1?P2V11?(P2V2?P1V1)

2223

（3）由Q??E?W得：Q?3(P2V2?P1V1)

14、理想卡诺热机在温度为270C和1270C的两个热源之间工作，若在正循环中，该机从高温热源吸收1200J的热量，则将向低温热源放出多少热量？对外做了多少功？

T2Q1?Q2W??得： 解：由??1?T1Q1Q1Q?QT2?900JW?QQ1?Q2400?300??1200?300J21T11

24

Q1400