理由：作CM⊥AB于M．

在Rt△ACM中，∵∠AMC＝90°，∠CAM＝30°，AC＝8， ∴CM＝AC＝4， ∵⊙O的半径为4， ∴CM＝r，

∴AB是⊙C的切线．

（2）证明：

∵CF＝4，CD＝2，CA＝8， ∴CF2＝CD?CA， ∴

＝

，∵∠FCD＝∠ACF，

∴△FCD∽△ACF．

（3）解：作DE′⊥AB于E′，交⊙C于F′．

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∵△FCD∽△ACF， ∴

＝

＝，

∴DF＝AC， ∴EF+AF＝EF+DF，

∴欲求EF+AF的最小值，就是要求EF+DF的最小值，

当E与E′，F与F′重合时，EF+DF的值最小，最小值＝DE′＝AD＝3． 【点评】本题考查圆综合题、切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确切线的证明方法，学会正确寻找相似三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决问题，属于中考压轴题．

6．问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝12，⊙C半径为6，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值．

（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝3，则有∴

＝

＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，

＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．

请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为．

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（2）自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝7，AB＝9，P为矩形内部一点，且PB＝3，AP+PC的最小值为．

（3）拓展延伸：如图4，扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4，OA＝2，OB＝3，点P是

上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．

【分析】（1）由等边三角形的性质可得CF＝6，AF＝6（2）在AB上截取BF＝1，连接PF，PC，由

，由勾股定理可求AD的长； ，可证△ABP∽△PBF，可得

PF＝AP，即AP+PC＝PF+PC，则当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，由勾股定理可求AP+PC的值最小值；

（3）延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，由

，

可得△AOP∽△POF，可得PF＝2AP，即2PA+PB＝PF+PB，则当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，由勾股定理可求2PA+PB的最小值． 【解答】解：（1）解：（1）如图1，

连结AD，过点A作AF⊥CB于点F， ∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，

∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小， 即：AP+BP最小值为AD，

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∵AC＝12，AF⊥BC，∠ACB＝60° ∴CF＝6，AF＝6

∴DF＝CF﹣CD＝6﹣3＝3 ∴AD＝

＝3

∴AP+BP的最小值为3（2）如图，

在AB上截取BF＝1，连接PF，PC， ∵AB＝9，PB＝3，BF＝1 ∴

，且∠ABP＝∠ABP，

∴△ABP∽△PBF， ∴

∴PF＝AP

∴AP+PC＝PF+PC，

∴当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小， ∴CF＝

＝

＝5，

∴AP+PC的值最小值为5（3）如图，

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