专题：阿氏圆与线段和最值问题

以阿氏圆(阿波罗尼斯圆)为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现，对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要.

具体内容如下： 阿氏圆定理(全称：阿波罗尼斯圆定理)，具体的描述：一动点P到两定点A、

mmB的距离之比等于定比n(≠1)，则P点的轨迹，是以定比n内分和外分定线段

AB的两个分点的连线为直径的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．

定理读起来和理解起来比较枯燥，阿氏圆题型也就是大家经常见到的PA+kPB，(k≠1)P点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型.

PA+kPB,(k≠1)P点的运动轨迹是圆或圆弧的题型

阿氏圆基本解法：构造母子三角形相似

例题1、问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP、BP，求AP+BP的最小值．

（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有

＝

＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴

＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．

请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为 ．

（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP+BP的最小值为 ． （3）拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是上一点，求2PA+PB的最小值．

【分析】（1）利用勾股定理即可求出，最小值为AD＝

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；

（2）连接CP，在CA上取点D，使CD＝，则有，可证△PCD∽△ACP，

得到PD＝AP，即：AP+BP＝BP+PD，从而AP+BP的最小值为BD；

（3）延长OA到点E，使CE＝6，连接PE、OP，可证△OAP∽△OPE，得到EP＝2PA，得到2PA+PB＝EP+PB，当E、P、B三点共线时，得到最小值． 【解答】解：（1）如图1，

连结AD，

∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，

∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小， 即：AP+BP最小值为AD， 在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6， ∴AD＝

＝

，

，故答案为：

；

AP+BP的最小值为

（2）如图2，

连接CP，在CA上取点D，使CD＝， ∴

，

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∵∠PCD＝∠ACP， ∴△PCD∽△ACP， ∴

，

∴PD＝AP， ∴AP+BP＝BP+PD，

∴同（1）的方法得出AP+BP的最小值为BD＝故答案为：

（3）如图3，

；

＝

．

延长OA到点E，使CE＝6， ∴OE＝OC+CE＝12， 连接PE、OP， ∵OA＝3， ∴

，

∵∠AOP＝∠AOP， ∴△OAP∽△OPE， ∴

，

∴EP＝2PA， ∴2PA+PB＝EP+PB，

∴当E、P、B三点共线时，取得最小值为：BE＝

＝13．

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【点评】此题是圆的综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，极值的确定，还考查了学生的阅读理解能力，解本题的关键是根据材料中的思路构造出△PCD∽△ACP和△OAP∽△OPE，也是解本题的难点．

例题2、问题背景 如图1，在△ABC中，BC＝4，AB＝2AC．

问题初探 请写出任意一对满足条件的AB与AC的值：AB＝ ，AC＝ ． 问题再探 如图2，在AC右侧作∠CAD＝∠B，交BC的延长线于点D，求CD的长． 问题解决 求△ABC的面积的最大值．

【分析】问题初探：设AC＝x，则AB＝2x，根据三角形三边间的关系知2x﹣x＜4且2x+x＞4，解之得出x的范围，在此范围内确定AC的值即可得出答案；

问题再探：设CD＝a、AD＝b，证△DAC∽△DBA得＝＝，据此知，

解之可得；

问题解决：设AC＝m、则AB＝2m，根据面积公式可得S△ABC＝2m定理可得cosC，代入化简S△ABC＝二次函数的性质求解可得．

【解答】解：问题初探，设AC＝x，则AB＝2x， ∵BC＝4，

∴2x﹣x＜4且2x+x＞4， 解得：＜x＜4，

取x＝3，则AC＝3、AB＝6， 故答案为：6、3；

问题再探，∵∠CAD＝∠B，∠D＝∠D， ∴△DAC∽△DBA，

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，由余弦

，结合m的取值范围，利用